1.「2026江苏徐州三十六中期中」如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$DE$垂直平分$AB$,交$BC$于点$D$,交$AB$于点$E$,若$∠ CAD=2∠ BAD$,则$∠ B$的度数为。

1.答案 $22.5°$
解析 $\because DE$ 垂直平分 $AB,\therefore DA=DB$,
$\therefore ∠ BAD=∠ B$,设$∠ B=x$,则$∠ BAD=x$,$∠ CAD=2x$,
$\therefore ∠ BAC=3x,\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ BAC+∠ B=90°$,
$\therefore 3x+x=90°$,解得 $x=22.5°$,$\therefore ∠ B$ 的度数为 $22.5°$.

2.「2026 江苏常州期中」如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=105°$,以点$B$为圆心,$BA$长为半径画弧,交$BC$于点$D$,连接$AD$,$AD=DC$,求$∠ B$的度数.

2.解析 设 $∠ C=x$,$\because AD=DC$,$\therefore ∠ DAC=∠ C=x$,
$\because ∠ BDA$ 是 $△ ADC$ 的外角,
$\therefore ∠ BDA=∠ CAD+∠ C=2x$,
由作图可得 $BA=BD$,$\therefore ∠ BAD=∠ BDA=2x$,
$\because ∠ BAC=105°$,$\therefore x+2x=105°$,解得 $x=35°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ BDA=70°$,
$\therefore ∠ B=180°-∠ BAD-∠ BDA=180°-70°-70°=40°$.

3.「2026 河北邯郸期中」如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD=DE=EB$,$BC=BD$,求$∠ A$的度数.

3.解析 设 $∠ ABD=x$,$\because DE=EB$,$\therefore ∠ BDE=∠ ABD=x$,
$\therefore ∠ AED=∠ BDE+∠ ABD=2x$,
$\because AD=DE$,$\therefore ∠ A=∠ AED=2x$,
$\therefore ∠ BDC=∠ A+∠ ABD=3x$,
$\because BC=BD$,$\therefore ∠ C=∠ BDC=3x$,
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ ABC=∠ C=3x$,
在 $△ ABC$ 中,$3x+3x+2x=180°$,解得 $x=22.5°$,
$\therefore ∠ A=2x=2×22.5°=45°$.

4.「2026江苏常州天宁月考」一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$50°$,则该等腰三角形的顶角度数为.

4.答案 $40°$或 $140°$
解析 当等腰三角形为锐角三角形时,如图 1,$AB=AC$,$∠ ACD=50°$,$CD$ 为高,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ A=90°-∠ ACD=90°-50°=40°$.
当等腰三角形为钝角三角形时,如图 2,$AB=AC$,$∠ ACD=50°$,$CD$ 为高,$\therefore ∠ ADC=90°$,$\therefore ∠ BAC=∠ D+∠ ACD=90°+50°=140°$.
综上,等腰三角形的顶角的度数为 $40°$或 $140°$.

5.「2026江苏南京鼓楼期中」如图,在$△ ABC$中,$AB＞AC＞BC,∠ACB=70°$,若点$D,E$都在直线$AB$上,且$AD=AC,BE=BC$,则$∠DCE$的度数为。

5.答案 $35°$或 $55°$或 $125°$
解析 ①当点 $D$ 在线段 $AB$ 上,点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上时,如图 1,$\because BE=BC$,$\therefore ∠ BEC=∠ BCE=\frac{1}{2}∠ ABC$,
$\because AD=AC$,$\therefore ∠ ADC=∠ ACD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$,
$\because ∠ DCE=∠ ADC-∠ BEC$,$\therefore ∠ DCE=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)-\frac{1}{2}∠ ABC=90°-\frac{1}{2}(∠ BAC+∠ ABC)=90°-\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=\frac{1}{2}∠ ACB=35°$.

②当点 $D,E$ 都在线段 $AB$ 上时,如图 2,
$\because BE=BC$,$\therefore ∠ BEC=∠ BCE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)$,
$\because AD=AC$,$\therefore ∠ ADC=∠ ACD=\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)$,
$\because ∠ DCE=180°-∠ BEC-∠ ADC$,
$\therefore ∠ DCE=180°-\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)-\frac{1}{2}(180°-∠ BAC)=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ BAC)=\frac{1}{2}(180°-∠ ACB)=90°-\frac{1}{2}∠ ACB=90°-\frac{1}{2}×70°=55°$.

③当点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上,点 $E$ 在线段 $AB$ 上,如图 3,
$\because BE=BC$,$\therefore ∠ BEC=∠ BCE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)$,
$\because AD=AC$,$\therefore ∠ ACD=∠ ADC=\frac{1}{2}(180°-∠ DAC)$,
$\because ∠ DCE=∠ BEC-∠ ADC$,$\therefore ∠ DCE=\frac{1}{2}(180°-∠ ABC)-\frac{1}{2}(180°-∠ DAC)=\frac{1}{2}(∠ DAC-∠ ABC)=\frac{1}{2}∠ ACB=\frac{1}{2}×70°=35°$.

④当点 $D$ 在 $BA$ 的延长线上,点 $E$ 在 $AB$ 的延长线上时,如图 4,

$\because AD=AC,BE=BC$,
$\therefore ∠ ACD=∠ D,∠ BCE=∠ E$,
$\because ∠ ACB=70°$,
$\therefore ∠ CAB+∠ CBA=110°$,
$\therefore ∠ ACD+∠ BCE=\frac{1}{2}(∠ CAB+∠ CBA)=55°$,
$\therefore ∠ DCE=∠ ACD+∠ BCE+∠ ACB=125°$.
综上,$∠ DCE$ 的度数为 $35°$或 $55°$或 $125°$.

6.如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,将$△ ABC$绕点$C$逆时针旋转得到$△ A_1B_1C$,旋转角为$α(0°＜α＜90°)$,连接$BB_1$,设$CB_1$交$AB$于点$D$,$A_1B_1$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$.
(1)求证:$△ CBD≌△ CA_1F$.
(2)试用含$α$的代数式表示$∠ B_1BD$.
(3)当$α$等于多少度时,$△ BB_1D$是等腰三角形?

6.解析 (1)证明:$\because AC=BC$,$\therefore ∠ A=∠ CBA$,
由旋转的性质得$∠ A_1=∠ A$,$A_1C=AC$,$∠ ACA_1=∠ BCB_1=α$.$\therefore ∠ A_1=∠ CBD$,$A_1C=BC$.
在 $△ CBD$ 与 $△ CA_1F$ 中,$\begin{cases}∠ CBD=∠ A_1,\\BC=A_1C,\\∠ BCD=∠ A_1CF,\end{cases}$
$\therefore △ CBD≌△ CA_1F(\mathrm{ASA})$.
(2)$\because$ 在 $△ ABC$ 中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,
$\therefore ∠ CAB=∠ CBA=45°$,
由旋转的性质得 $B_1C=BC$,$∠ BCB_1=α$,
$\therefore ∠ CBB_1=\frac{180°-α}{2}=90°-\frac{α}{2}$,
$\therefore ∠ B_1BD=∠ CBB_1-∠ CBA=90°-\frac{α}{2}-45°=45°-\frac{α}{2}$.
(3)由(2)得 $∠ CBA=45°$,$∠ CBB_1=∠ CB_1B=90°-\frac{α}{2}$,
$∠ B_1BD=45°-\frac{α}{2}$,
$\therefore ∠ B_1DB=α+45°$,
①若 $B_1B=B_1D$,则 $∠ B_1DB=∠ B_1BD$,
$\therefore α+45°=45°-\frac{α}{2}$,解得 $α=0°$(舍去).
②$\because ∠ BB_1C=∠ B_1BC＞∠ B_1BD$,
$\therefore BD＞B_1D$,即 $BD≠ B_1D$.
③若 $BB_1=BD$,则 $∠ BDB_1=∠ BB_1D$,即 $α+45°=90°-\frac{α}{2}$,解得 $α=30°$.
综上,当 $α=30°$ 时,$△ BB_1D$ 为等腰三角形.