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1. (2025·泸州)下列计算正确的是(
A.$(a^2)^3 = a^6$
B.$a^2 \cdot a^3 = a^6$
C.$(2a)^3 = 2a^3$
D.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
A
)A.$(a^2)^3 = a^6$
B.$a^2 \cdot a^3 = a^6$
C.$(2a)^3 = 2a^3$
D.$a^{10} ÷ a^2 = a^5$
答案
A
解析
A. 根据幂的乘方运算法则，$(a^m)^n = a^{m × n}$，所以$(a^2)^3 = a^{2 × 3} = a^6$，正确；
B. 根据同底数幂的乘法运算法则，$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，所以$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$，与选项B的$a^6$不符，错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，所以$(2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$，与选项C的$2a^3$不符，错误；
D. 根据同底数幂的除法运算法则，$a^m {÷} a^n = a^{m-n}$，所以$a^{10} {÷} a^2 = a^{10-2} = a^8$，与选项D的$a^5$不符，错误。
综上所述，只有选项A正确。
B. 根据同底数幂的乘法运算法则，$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$，所以$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$，与选项B的$a^6$不符，错误；
C. 根据积的乘方运算法则，$(ab)^n = a^n b^n$，所以$(2a)^3 = 2^3 \cdot a^3 = 8a^3$，与选项C的$2a^3$不符，错误；
D. 根据同底数幂的除法运算法则，$a^m {÷} a^n = a^{m-n}$，所以$a^{10} {÷} a^2 = a^{10-2} = a^8$，与选项D的$a^5$不符，错误。
综上所述，只有选项A正确。
2. (2024·河南)计算$(\underbrace{a \cdot a …\cdot \cdot a}_{a个})^3$的结果是(
A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$
D
)A.$a^5$
B.$a^6$
C.$a^{a + 3}$
D.$a^{3a}$
答案
D
解析
题目中要求计算$(\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{a个})^3$的结果。
首先，$a$个$a$相乘可以表示为$a^a$，然后对其三次方，即$(a^a)^3$。
根据幂的乘方规则，$(a^a)^3 = a^{a \cdot 3} = a^{3a}$。
因此，正确答案是$D$选项。
首先，$a$个$a$相乘可以表示为$a^a$，然后对其三次方，即$(a^a)^3$。
根据幂的乘方规则，$(a^a)^3 = a^{a \cdot 3} = a^{3a}$。
因此，正确答案是$D$选项。
3. $(-ab^2)^3 = $
$-a^3b^6$
；若$m \cdot 2^3 = 2^6$,则$m = $$8$
.答案
$-a^3b^6$；$8$
解析
1. 计算$(-ab^2)^3$：
根据积的乘方公式$(xy)^n = x^n y^n$，可得$(-ab^2)^3=(-1)^3× a^3×(b^2)^3$。
再根据幂的乘方公式$(x^m)^n = x^{mn}$，$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$，$(-1)^3=-1$，所以$(-ab^2)^3=-a^3b^6$。
2. 求解$m$的值：
已知$m\cdot2^3 = 2^6$，根据等式的性质，$m=\frac{2^6}{2^3}$。
根据同底数幂的除法公式$x^m÷ x^n = x^{m - n}$，可得$m = 2^{6 - 3}=2^3 = 8$。
根据积的乘方公式$(xy)^n = x^n y^n$，可得$(-ab^2)^3=(-1)^3× a^3×(b^2)^3$。
再根据幂的乘方公式$(x^m)^n = x^{mn}$，$(b^2)^3 = b^{2×3}=b^6$，$(-1)^3=-1$，所以$(-ab^2)^3=-a^3b^6$。
2. 求解$m$的值：
已知$m\cdot2^3 = 2^6$，根据等式的性质，$m=\frac{2^6}{2^3}$。
根据同底数幂的除法公式$x^m÷ x^n = x^{m - n}$，可得$m = 2^{6 - 3}=2^3 = 8$。
4. (2025·德阳)若$m$,$n满足3m - n - 4 = 0$,则$8^m ÷ 2^n = $
16
.答案
16（由于题目是填空形式，这里按要求应直接写数值，若按给定格式对应选项题（本题非选择题但按要求格式）则这里本质是填计算结果对应的呈现） ，若理解为按格式要求（虽本题非选择但模拟选项位置填结果）可视为填对应数值结果（非选项字母），严格按题目要求非选择填数值则此处为16的对应呈现（若按给定框架模拟选项位置则理解为填结果数值）。
解析
由$3m - n - 4 = 0$，可得$3m - n = 4$。
将$8^m÷2^n$变形为$2^{3m}÷2^{n}$，根据同底数幂的除法法则，$2^{3m}÷2^{n}=2^{3m - n}$。
把$3m - n = 4$代入$2^{3m - n}$，可得$2^4 = 16$。
将$8^m÷2^n$变形为$2^{3m}÷2^{n}$，根据同底数幂的除法法则，$2^{3m}÷2^{n}=2^{3m - n}$。
把$3m - n = 4$代入$2^{3m - n}$，可得$2^4 = 16$。
5. 若$2^x = 4$,$2^y = 16$,则$2^{2x + y} = $
256
.答案
256
解析
已知 $2^x = 4$，$2^y = 16$。
根据指数运算法则，有：
$2^{2x + y} = 2^{2x} × 2^{y}$，
将 $2^{2x}$ 转化为 $(2^x)^2$，得：
$2^{2x} = (2^x)^2 = 4^2 = 16$，
所以：
$2^{2x + y} = 16 × 16 = 256$。
根据指数运算法则，有：
$2^{2x + y} = 2^{2x} × 2^{y}$，
将 $2^{2x}$ 转化为 $(2^x)^2$，得：
$2^{2x} = (2^x)^2 = 4^2 = 16$，
所以：
$2^{2x + y} = 16 × 16 = 256$。
6. 下列运算中正确的是(
A.$2a + 3a = 5a^2$
B.$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
C.$2a^2 \cdot a^3 = 2a^6$
D.$(2a + b)^2 = 4a^2 + b^2$
B
)A.$2a + 3a = 5a^2$
B.$(2a + b)(2a - b) = 4a^2 - b^2$
C.$2a^2 \cdot a^3 = 2a^6$
D.$(2a + b)^2 = 4a^2 + b^2$
答案
B
解析
A. $2a + 3a = 5a$，故A错误；B. $(2a + b)(2a - b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$，故B正确；C. $2a^2 \cdot a^3 = 2a^{2+3} = 2a^5$，故C错误；D. $(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$，故D错误。
7. (2025·绵阳)如图①所示,将边长为$a的正方形纸片剪去一个边长为b$的小正方形纸片,再沿着图①中的虚线剪开,把剪成的两部分(1)和(2)拼成如图②所示的平行四边形,这两个图能解释的数学公式是(
A. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D. $ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2]$
B
)A. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$B. $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$
C. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
D. $ab = \frac{1}{4}[(a + b)^2 - (a - b)^2]$
答案
B
解析
图①中阴影部分面积为大正方形面积减去小正方形面积，即$a^2 - b^2$。图②中平行四边形的底为$a + b$，高为$a - b$，面积为$(a + b)(a - b)$。两图面积相等，故$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$。
8. 已知$ab = a + b + 1$,则$(a - 1)(b - 1) = $
2
.答案
2
解析
将$(a - 1)(b - 1)$展开可得：$(a - 1)(b - 1)=ab - a - b + 1$。
已知$ab = a + b + 1$，将其代入上式可得：$(a - 1)(b - 1)=(a + b + 1)-a - b + 1 = 2$。
已知$ab = a + b + 1$，将其代入上式可得：$(a - 1)(b - 1)=(a + b + 1)-a - b + 1 = 2$。
