登录
8. 通分：(1)$\frac{x}{6ab^{2}}$,$\frac{y}{9a^{2}bc}$；
(2)$\frac{a - 1}{a^{2} + 2a + 1}$,$\frac{6}{a^{2} - 1}$。
(2)$\frac{a - 1}{a^{2} + 2a + 1}$,$\frac{6}{a^{2} - 1}$。
答案
(1)
最简公分母为 $18a^{2}b^{2}c$。
$\frac{x}{6ab^{2}} = \frac{x \cdot 3ac}{6ab^{2} \cdot 3ac} = \frac{3acx}{18a^{2}b^{2}c}$；
$\frac{y}{9a^{2}bc} = \frac{y \cdot 2b}{9a^{2}bc \cdot 2b} = \frac{2by}{18a^{2}b^{2}c}$。
(2)
最简公分母为 $(a + 1)^{2}(a - 1)$。
$\frac{a - 1}{a^{2} + 2a + 1} = \frac{a - 1}{(a + 1)^{2}} = \frac{(a - 1)^{2}}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$；
$\frac{6}{a^{2} - 1} = \frac{6}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{6(a + 1)}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$。
最简公分母为 $18a^{2}b^{2}c$。
$\frac{x}{6ab^{2}} = \frac{x \cdot 3ac}{6ab^{2} \cdot 3ac} = \frac{3acx}{18a^{2}b^{2}c}$；
$\frac{y}{9a^{2}bc} = \frac{y \cdot 2b}{9a^{2}bc \cdot 2b} = \frac{2by}{18a^{2}b^{2}c}$。
(2)
最简公分母为 $(a + 1)^{2}(a - 1)$。
$\frac{a - 1}{a^{2} + 2a + 1} = \frac{a - 1}{(a + 1)^{2}} = \frac{(a - 1)^{2}}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$；
$\frac{6}{a^{2} - 1} = \frac{6}{(a + 1)(a - 1)} = \frac{6(a + 1)}{(a + 1)^{2}(a - 1)}$。
9. 将$\frac{-1}{3a + 6}$,$\frac{2}{a^{2} + 2a + 1}$,$\frac{a}{(a + 1)(a + 2)}$通分后,各分式的分子之和为(
A.$2a^{2} + 7a + 11$
B.$a^{2} + 8a + 10$
C.$2a^{2} + 4a + 4$
D.$4a^{2} + 11a + 13$
A
)A.$2a^{2} + 7a + 11$
B.$a^{2} + 8a + 10$
C.$2a^{2} + 4a + 4$
D.$4a^{2} + 11a + 13$
答案
A
解析
先对各分母因式分解：$3a+6=3(a+2)$，$a^2+2a+1=(a+1)^2$，第三个分母为$(a+1)(a+2)$。最简公分母为$3(a+1)^2(a+2)$。
通分各分式：
$\frac{-1}{3(a+2)}=\frac{-1\cdot(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{-a^2-2a-1}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{2}{(a+1)^2}=\frac{2\cdot3(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6a+12}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{a}{(a+1)(a+2)}=\frac{a\cdot3(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a^2+3a}{3(a+1)^2(a+2)}$。
分子之和：$(-a^2-2a-1)+(6a+12)+(3a^2+3a)=2a^2+7a+11$。
通分各分式：
$\frac{-1}{3(a+2)}=\frac{-1\cdot(a+1)^2}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{-a^2-2a-1}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{2}{(a+1)^2}=\frac{2\cdot3(a+2)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{6a+12}{3(a+1)^2(a+2)}$；
$\frac{a}{(a+1)(a+2)}=\frac{a\cdot3(a+1)}{3(a+1)^2(a+2)}=\frac{3a^2+3a}{3(a+1)^2(a+2)}$。
分子之和：$(-a^2-2a-1)+(6a+12)+(3a^2+3a)=2a^2+7a+11$。
10. 琪琪在化简分式$\frac{?}{x^{2} - 4}$时得到的结果为$\frac{x - 2}{x + 2}$,则? 部分的代数式应该是
$x^{2}-4x + 4$
。答案
$x^{2}-4x + 4$
解析
设? 部分的代数式为$A$，由题意得$\frac{A}{x^{2}-4}=\frac{x - 2}{x + 2}$，因为$x^{2}-4=(x + 2)(x - 2)$，则$A=\frac{x - 2}{x + 2}×(x + 2)(x - 2)=(x - 2)^{2}=x^{2}-4x + 4$。
11. (教材题改编)(1)若分式$\frac{5a - b}{a + b}$的值是0,则下列正确的是(
A.$a \neq - b$
B.$a \neq 0$
C.$b = 5a$
D.$b = 5a$,且$a \neq 0$
D
)A.$a \neq - b$
B.$a \neq 0$
C.$b = 5a$
D.$b = 5a$,且$a \neq 0$
答案
D
解析
要使分式 $\frac{5a - b}{a + b}$ 的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 分子为0：$5a - b = 0$，即 $b = 5a$。
2. 分母不为0：$a + b \neq 0$，将 $b = 5a$ 代入得 $a + 5a \neq 0$，即 $6a \neq 0$，所以 $a \neq 0$。
综上，$b = 5a$ 且 $a \neq 0$。
1. 分子为0：$5a - b = 0$，即 $b = 5a$。
2. 分母不为0：$a + b \neq 0$，将 $b = 5a$ 代入得 $a + 5a \neq 0$，即 $6a \neq 0$，所以 $a \neq 0$。
综上，$b = 5a$ 且 $a \neq 0$。
(2)若分式$\frac{3x^{2} - 27}{x^{2} + 6x + 9}$的值为0,则$x$的值为
3
。答案
3
解析
要使分式的值为0，则分子为0且分母不为0。
分子：$3x^2 - 27 = 0$，即$3(x^2 - 9) = 0$，$3(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
分母：$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$，分母不为0，则$(x + 3)^2 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 3$。
分子：$3x^2 - 27 = 0$，即$3(x^2 - 9) = 0$，$3(x + 3)(x - 3) = 0$，解得$x = 3$或$x = -3$。
分母：$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$，分母不为0，则$(x + 3)^2 \neq 0$，即$x \neq -3$。
综上，$x = 3$。
12. 已知$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$,求$\frac{3x + 3xy - 3y}{x - 3xy - y}$的值。
答案
$\frac{3}{5}$
解析
由$\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = 2$，通分得$\frac{y - x}{xy} = 2$，即$y - x = 2xy$，则$x - y = -2xy$。
将$x - y = -2xy$代入$\frac{3x + 3xy - 3y}{x - 3xy - y}$：
分子：$3x + 3xy - 3y = 3(x - y) + 3xy = 3(-2xy) + 3xy = -6xy + 3xy = -3xy$；
分母：$x - 3xy - y = (x - y) - 3xy = -2xy - 3xy = -5xy$；
原式$=\frac{-3xy}{-5xy} = \frac{3}{5}$。
将$x - y = -2xy$代入$\frac{3x + 3xy - 3y}{x - 3xy - y}$：
分子：$3x + 3xy - 3y = 3(x - y) + 3xy = 3(-2xy) + 3xy = -6xy + 3xy = -3xy$；
分母：$x - 3xy - y = (x - y) - 3xy = -2xy - 3xy = -5xy$；
原式$=\frac{-3xy}{-5xy} = \frac{3}{5}$。
13. 已知分式$\frac{6x + 18}{9 - x^{2}}$的值为正整数,求整数$x$的值。
答案
答题卡：
对原分式进行因式分解：
$\frac{6x + 18}{9 - x^{2}} = \frac{6(x + 3)}{(3 + x)(3 - x)}$，
由于$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$，可以约去$x + 3$，得到：
$\frac{6}{3 - x}$，
根据题意，分式的值为正整数，所以：
$\frac{6}{3 - x} ＞ 0$，
即：
$3 - x ＞ 0$，
从而得到：
$x ＜ 3$，
同时，因为分式的值为正整数，所以分母$3 - x$必须是6的正约数，即：
$3 - x = 1, 2, 3, 6$，
解得：
$x = 2, 1, 0, -3$，
但由于$x \neq -3$，所以$x$的取值为：
$x = 2, 1, 0$。
对原分式进行因式分解：
$\frac{6x + 18}{9 - x^{2}} = \frac{6(x + 3)}{(3 + x)(3 - x)}$，
由于$x + 3 \neq 0$，即$x \neq -3$，可以约去$x + 3$，得到：
$\frac{6}{3 - x}$，
根据题意，分式的值为正整数，所以：
$\frac{6}{3 - x} ＞ 0$，
即：
$3 - x ＞ 0$，
从而得到：
$x ＜ 3$，
同时，因为分式的值为正整数，所以分母$3 - x$必须是6的正约数，即：
$3 - x = 1, 2, 3, 6$，
解得：
$x = 2, 1, 0, -3$，
但由于$x \neq -3$，所以$x$的取值为：
$x = 2, 1, 0$。
14. 【例】已知实数$x满足x + \frac{1}{x} = 4$,求分式$\frac{x}{x^{2} + 3x + 1}$的值。
解：观察所求式子的特征,$\because x \neq 0$,我们可以先求出$\frac{x}{x^{2} + 3x + 1}$的倒数的值。
$\because \frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 3 = 4 + 3 = 7$,$\therefore \frac{x}{x^{2} + 3x + 1} = \frac{1}{7}$。
解：观察所求式子的特征,$\because x \neq 0$,我们可以先求出$\frac{x}{x^{2} + 3x + 1}$的倒数的值。
$\because \frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 3 = 4 + 3 = 7$,$\therefore \frac{x}{x^{2} + 3x + 1} = \frac{1}{7}$。
答案
$\frac{1}{7}$
解析
解：∵x≠0，
$\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x}) + 3$，
又∵$x + \frac{1}{x} = 4$，
∴$\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = 4 + 3 = 7$，
∴$\frac{x}{x^{2} + 3x + 1} = \frac{1}{7}$。
$\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = x + 3 + \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x}) + 3$，
又∵$x + \frac{1}{x} = 4$，
∴$\frac{x^{2} + 3x + 1}{x} = 4 + 3 = 7$，
∴$\frac{x}{x^{2} + 3x + 1} = \frac{1}{7}$。
【活学活用】
(1)已知实数$a满足a + \frac{1}{a} = - 5$,求分式$\frac{a}{3a^{2} + 5a + 3}$的值；
(2)已知实数$x满足x + \frac{1}{x + 1} = 9$,求分式$\frac{x + 1}{x^{2} + 5x + 5}$的值。
(1)已知实数$a满足a + \frac{1}{a} = - 5$,求分式$\frac{a}{3a^{2} + 5a + 3}$的值；
(2)已知实数$x满足x + \frac{1}{x + 1} = 9$,求分式$\frac{x + 1}{x^{2} + 5x + 5}$的值。
答案
(1)
由$a + \frac{1}{a} = - 5$，可得$a^{2}+1 = - 5a$，$a^{2}=-5a - 1$。
$3a^{2}+5a + 3=3(-5a - 1)+5a + 3=-15a-3 + 5a+3=-10a$。
则$\frac{a}{3a^{2} + 5a + 3}=\frac{a}{-10a}=-\frac{1}{10}$。
(2)
由$x+\frac{1}{x + 1}=9$，等式两边同乘$x + 1$得$x(x + 1)+1 = 9(x + 1)$，即$x^{2}+x+1 = 9x + 9$，$x^{2}=8x + 8$。
$x^{2}+5x + 5=8x + 8+5x + 5=13x + 13$。
则$\frac{x + 1}{x^{2} + 5x + 5}=\frac{x + 1}{13(x + 1)}=\frac{1}{13}$。
综上，(1)答案为$-\frac{1}{10}$；(2)答案为$\frac{1}{13}$。
由$a + \frac{1}{a} = - 5$，可得$a^{2}+1 = - 5a$，$a^{2}=-5a - 1$。
$3a^{2}+5a + 3=3(-5a - 1)+5a + 3=-15a-3 + 5a+3=-10a$。
则$\frac{a}{3a^{2} + 5a + 3}=\frac{a}{-10a}=-\frac{1}{10}$。
(2)
由$x+\frac{1}{x + 1}=9$，等式两边同乘$x + 1$得$x(x + 1)+1 = 9(x + 1)$，即$x^{2}+x+1 = 9x + 9$，$x^{2}=8x + 8$。
$x^{2}+5x + 5=8x + 8+5x + 5=13x + 13$。
则$\frac{x + 1}{x^{2} + 5x + 5}=\frac{x + 1}{13(x + 1)}=\frac{1}{13}$。
综上，(1)答案为$-\frac{1}{10}$；(2)答案为$\frac{1}{13}$。
