1. 如图,这是一个横断面为抛物线形的拱桥,当水面在$l$时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面$2m$,水面宽$4m$。如图,建立平面直角坐标系,则抛物线所表示的函数的解析式是( )

A.$y = - 2x^{2}$
B.$y = 2x^{2}$
C.$y = - \frac{1}{2}x^{2}$
D.$y = \frac{1}{2}x^{2}$

C

解：设抛物线解析式为$y = ax^{2}$。
由题意知，抛物线顶点为原点$(0,0)$，当水面宽$4m$时，水面离拱顶$2m$，则此时水面与抛物线交点坐标为$(2,-2)$和$(-2,-2)$。
将$(2,-2)$代入$y = ax^{2}$，得$-2 = a × 2^{2}$，即$4a=-2$，解得$a=-\frac{1}{2}$。
所以抛物线解析式为$y = -\frac{1}{2}x^{2}$。
答案：C

2. 如图,小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意的成绩,函数$h = 3.5t - 4.9t^{2}可以描述他跳跃时重心高度h$(单位：$m$)随时间$t$(单位：$s$)的变化关系,由此可知他起跳后重心到达最高时所用的时间$t$约为( )

A.$0.71s$
B.$0.70s$
C.$0.63s$
D.$0.36s$

D

解：对于二次函数$h = -4.9t^{2}+3.5t$，其中$a=-4.9$，$b=3.5$。
因为$a＜0$，抛物线开口向下，函数在对称轴处取得最大值。
对称轴为$t=-\frac{b}{2a}=-\frac{3.5}{2×(-4.9)}=\frac{3.5}{9.8}\approx0.36$。
答案：D

3. 图1所示为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分。图2所示是棚顶的竖直高度$y$(单位：$m$)与距离停车棚支柱$AO的水平距离x$(单位：$m$)近似满足的函数关系$y = - 0.02x^{2}+0.3x + 1.6$的图象,点$B(6,2.68)$在图象上。若一辆箱式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长$CD = 4m$,高$DE = 1.8m$的矩形,则可判定此货车____完全停到车棚内(填“能”或“不能”)。

能

解：要使货车完全停到车棚内，则货车矩形截面的最右侧点$E$对应的$x$值为$C$点$x$值加$4$，设$C$点坐标为$(x,0)$，则$E$点坐标为$(x + 4,1.8)$，需满足当$x$在$[C,D]$区间内时，抛物线$y=-0.02x^{2}+0.3x + 1.6$的最小值大于等于$1.8$。
由于抛物线开口向下，对称轴为$x=-\frac{0.3}{2×(-0.02)} = 7.5$。
货车长$4m$，当货车停在对称轴左侧时，右侧端点$D$的$x$值为$x_D$，则左侧端点$C$的$x$值为$x_D-4$，此时在区间$[x_D-4,x_D]$上，抛物线单调递增，最小值在$x=x_D-4$处取得；当货车停在对称轴右侧时，区间内抛物线单调递减，最小值在$x=x_D$处取得；当货车跨对称轴时，最小值在区间端点处取得。
为使货车能停下，只需存在$x$，使得当$x$在$[a,a + 4]$时，$y\geq1.8$。
令$y = 1.8$，则$-0.02x^{2}+0.3x + 1.6=1.8$，
即$-0.02x^{2}+0.3x - 0.2=0$，
两边同乘$-50$得$x^{2}-15x + 10=0$，
解得$x=\frac{15\pm\sqrt{225 - 40}}{2}=\frac{15\pm\sqrt{185}}{2}\approx\frac{15\pm13.6}{2}$，
即$x_1\approx\frac{15 - 13.6}{2}=0.7$，$x_2\approx\frac{15 + 13.6}{2}=14.3$。
抛物线$y\geq1.8$的区间为$[0.7,14.3]$，该区间长度为$14.3 - 0.7=13.6＞4$，
所以存在长度为$4m$的区间使$y\geq1.8$。
能

4. 从地面竖直向上抛出一小球,小球的高度$h$(单位：$m$)与小球的运动时间$t$(单位：$s$)之间的关系式是$h = 30t - 5t^{2}(0\leqslant t\leqslant6)$,则小球抛出____秒后离地面$25$米。

1或5

当$h = 25$时，$30t-5t^{2}=25$，即$t^{2}-6t + 5=0$，解得$t_{1}=1$，$t_{2}=5$。
1或5

5. 如图,排球运动员站在点$O$处练习发球,将球从点$O正上方2m的A$处发出,把球看成点,其运行的高度$y$(单位：$m$)与运行的水平距离$x$(单位：$m$)满足$y = a(x - 6)^{2}+h$。已知球网与点$O的水平距离为9m$,高度为$2.43m$,球场的边界距点$O的水平距离为18m$。
(1)当$h = 2.6$时,求$y关于x$的函数解析式；
(2)当$h = 2.6$时,球能否越过球网？请说明理由。

(1)$y=-\frac {1}{60}(x-6)^{2}+2.6$;
(2)当$x=9$时,$y=2.45＞2.43$,
∴能过网