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10. 如图,已知$AB是\odot O$的直径,$AD切\odot O于点A$,$\overset{\frown}{EC}= \overset{\frown}{CB}$,则下列结论中不一定正确的是( )
A.$BA\perp DA$
B.$OC// AE$
C.$\angle COE= 2\angle CAE$
D.$OD\perp AC$
A.$BA\perp DA$
B.$OC// AE$
C.$\angle COE= 2\angle CAE$
D.$OD\perp AC$
答案
D
解析
证明：
A.
∵AD切$\odot O$于点A，AB是$\odot O$直径，
∴$BA\perp DA$（切线性质），A正确。
B.
∵$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴OC平分$\angle EOB$，即$\angle EOC=\angle COB$。
∵OA=OE，
∴$\angle OAE=\angle OEA$。
又$\angle EOB=\angle OAE+\angle OEA=2\angle OAE$，且$\angle EOB=2\angle COB$，
∴$\angle COB=\angle OAE$，
∴$OC//AE$（同位角相等），B正确。
C.
∵$\angle COE$是$\overset{\frown}{CE}$所对圆心角，$\angle CAE$是$\overset{\frown}{CE}$所对圆周角，
∴$\angle COE=2\angle CAE$（圆心角定理），C正确。
D. 无条件表明OD过AC中点或OD平分AC，OD与AC不一定垂直，D不一定正确。
结论：D
A.
∵AD切$\odot O$于点A，AB是$\odot O$直径，
∴$BA\perp DA$（切线性质），A正确。
B.
∵$\overset{\frown}{EC}=\overset{\frown}{CB}$，
∴OC平分$\angle EOB$，即$\angle EOC=\angle COB$。
∵OA=OE，
∴$\angle OAE=\angle OEA$。
又$\angle EOB=\angle OAE+\angle OEA=2\angle OAE$，且$\angle EOB=2\angle COB$，
∴$\angle COB=\angle OAE$，
∴$OC//AE$（同位角相等），B正确。
C.
∵$\angle COE$是$\overset{\frown}{CE}$所对圆心角，$\angle CAE$是$\overset{\frown}{CE}$所对圆周角，
∴$\angle COE=2\angle CAE$（圆心角定理），C正确。
D. 无条件表明OD过AC中点或OD平分AC，OD与AC不一定垂直，D不一定正确。
结论：D
11. 如图,在半径为5的$\odot O$中,将劣弧$AB沿弦AB$翻折,使折叠后的$\overset{\frown}{AB}恰好与OA$,$OB$相切,则$\overset{\frown}{AB}$的长为( )
A.$\frac{5}{3}\pi$
B.$\frac{5}{2}\pi$
C.$\frac{5}{4}\pi$
D.$\frac{5}{6}\pi$
A.$\frac{5}{3}\pi$
B.$\frac{5}{2}\pi$
C.$\frac{5}{4}\pi$
D.$\frac{5}{6}\pi$
答案
B
解析
解：设折叠后的弧$AB$所在圆的圆心为$O'$，连接$O'A$，$O'B$，$OO'$，$OO'$交$AB$于点$C$。
由折叠性质知$OO'\perp AB$，$AC=BC$，$O'A=O'B=OA=OB=5$，四边形$OAO'B$为菱形。
折叠后的$\overset{\frown}{AB}$与$OA$，$OB$相切，故$O'A\perp OA$，$O'B\perp OB$，$\angle OAO'=\angle OBO'=90°$。
在四边形$OAO'B$中，$\angle AOB+\angle OAO'+\angle AO'B+\angle OBO'=360°$，且$\angle OAO'=\angle OBO'=90°$，则$\angle AOB+\angle AO'B=180°$。
设$\angle AOB=n°$，则$\angle AO'B=180° - n°$。
在菱形$OAO'B$中，$OA=O'A$，$\triangle OAO'$为等腰直角三角形，$\angle AO'O=45°$，同理$\angle BO'O=45°$，故$\angle AO'B=\angle AO'O+\angle BO'O=90°$，即$180° - n°=90°$，解得$n=90$，$\angle AOB=90°$。
$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{90\pi×5}{180}=\frac{5}{2}\pi$。
答案：B
由折叠性质知$OO'\perp AB$，$AC=BC$，$O'A=O'B=OA=OB=5$，四边形$OAO'B$为菱形。
折叠后的$\overset{\frown}{AB}$与$OA$，$OB$相切，故$O'A\perp OA$，$O'B\perp OB$，$\angle OAO'=\angle OBO'=90°$。
在四边形$OAO'B$中，$\angle AOB+\angle OAO'+\angle AO'B+\angle OBO'=360°$，且$\angle OAO'=\angle OBO'=90°$，则$\angle AOB+\angle AO'B=180°$。
设$\angle AOB=n°$，则$\angle AO'B=180° - n°$。
在菱形$OAO'B$中，$OA=O'A$，$\triangle OAO'$为等腰直角三角形，$\angle AO'O=45°$，同理$\angle BO'O=45°$，故$\angle AO'B=\angle AO'O+\angle BO'O=90°$，即$180° - n°=90°$，解得$n=90$，$\angle AOB=90°$。
$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{90\pi×5}{180}=\frac{5}{2}\pi$。
答案：B
12. 如图,一张半径为1的圆形纸片在边长为$a(a\geq3)$的正方形内任意移动,则该正方形内,这张圆形纸片“不能接触的部分”的面积是( )
A.$a^{2}-\pi$
B.$(4-\pi)a^{2}$
C.$\pi$
D.$4-\pi$
A.$a^{2}-\pi$
B.$(4-\pi)a^{2}$
C.$\pi$
D.$4-\pi$
答案
D
解析
圆形纸片半径为1，在正方形内移动时，不能接触的部分为正方形四个角处的区域。每个角可看作边长为1的正方形减去半径为1的四分之一圆，其面积为$1^2 - \frac{1}{4}\pi×1^2 = 1 - \frac{\pi}{4}$。四个角的总面积为$4×(1 - \frac{\pi}{4}) = 4 - \pi$。
D
D
13. 如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D在\odot O$上,$\angle AOD= 110^{\circ}$,若$\overset{\frown}{BC}= \overset{\frown}{BD}$,则$\angle C= $______。
答案
55°
14. 如图,$BE是\odot O$的直径,$A$,$D是\odot O$上的两点,过点$A作\odot O的切线交BE的延长线于点C$,若$\angle ADE= 25^{\circ}$,则$\angle C$的度数为______。
答案
40°
解析
证明：连接OA。
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°。
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°。
∵∠OAC=90°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°。
40°
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°。
∵∠ADE=25°，
∴∠AOE=2∠ADE=50°。
∵∠OAC=90°，
∴∠C=90°-∠AOE=90°-50°=40°。
40°
15. 如图,五边形$ABCDE是\odot O$的内接正五边形,对角线$AC$,$BD相交于点P$,有下列结论：①$\angle BAC= 36^{\circ}$；②$PB= PC$；③四边形$APDE$是菱形；④$AP= 2BP$,其中正确的结论是______。
答案
①②③
解析
证明：
①
∵五边形$ABCDE$是$\odot O$的内接正五边形，
∴$\angle ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$AB=BC$，
∴$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，①正确；
②
∵$\angle ABC=108°$，$\angle BAC=36°$，
∴$\angle ABP=\angle ABC-\angle PBC=108°-\angle PBC$，
又$\angle BCA=36°$，$\angle BDC=\angle BAC=36°$（同弧所对圆周角相等），
∴$\angle BPC=180°-\angle PBC-\angle BCA=180°-\angle PBC-36°=144°-\angle PBC$，
$\angle PBC=\angle BDC=36°$（同弧所对圆周角相等），
∴$\angle BPC=144°-36°=108°$，$\angle PBC=36°$，
∴$\angle PBC=\angle PCB=36°$，
∴$PB=PC$，②正确；
③
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AE=ED=DC=CB=BA$，$\angle EAD=\angle ADE=72°$（正五边形内角为$108°$，对角线平分内角），
$\angle BAC=36°$，
∴$\angle EAP=108°-36°=72°$，
$\angle ADE=72°$，
∴$AE// PD$，
同理$AP// ED$，
∴四边形$APDE$是平行四边形，
又$AE=ED$，
∴四边形$APDE$是菱形，③正确；
④设$BP=x$，$PC=PB=x$，$\angle BPC=108°$，
由正弦定理$\frac{BP}{\sin\angle BCP}=\frac{BC}{\sin\angle BPC}$，即$\frac{x}{\sin36°}=\frac{BC}{\sin108°}$，
$BC=\frac{x\sin108°}{\sin36°}=\frac{x\cos18°}{\sin36°}\approx\frac{x×0.9511}{0.5878}\approx1.618x$，
$\angle BAC=36°$，$\angle ABC=108°$，$\frac{AP}{\sin\angle ABP}=\frac{BP}{\sin\angle BAC}$，
$\angle ABP=108°-36°=72°$，
∴$AP=\frac{BP\sin72°}{\sin36°}=\frac{x×0.9511}{0.5878}\approx1.618x\neq2x$，④错误。
综上，正确结论是①②③。
答案：①②③
①
∵五边形$ABCDE$是$\odot O$的内接正五边形，
∴$\angle ABC=\frac{(5-2)×180°}{5}=108°$，$AB=BC$，
∴$\angle BAC=\angle BCA=\frac{180°-108°}{2}=36°$，①正确；
②
∵$\angle ABC=108°$，$\angle BAC=36°$，
∴$\angle ABP=\angle ABC-\angle PBC=108°-\angle PBC$，
又$\angle BCA=36°$，$\angle BDC=\angle BAC=36°$（同弧所对圆周角相等），
∴$\angle BPC=180°-\angle PBC-\angle BCA=180°-\angle PBC-36°=144°-\angle PBC$，
$\angle PBC=\angle BDC=36°$（同弧所对圆周角相等），
∴$\angle BPC=144°-36°=108°$，$\angle PBC=36°$，
∴$\angle PBC=\angle PCB=36°$，
∴$PB=PC$，②正确；
③
∵五边形$ABCDE$是正五边形，
∴$AE=ED=DC=CB=BA$，$\angle EAD=\angle ADE=72°$（正五边形内角为$108°$，对角线平分内角），
$\angle BAC=36°$，
∴$\angle EAP=108°-36°=72°$，
$\angle ADE=72°$，
∴$AE// PD$，
同理$AP// ED$，
∴四边形$APDE$是平行四边形，
又$AE=ED$，
∴四边形$APDE$是菱形，③正确；
④设$BP=x$，$PC=PB=x$，$\angle BPC=108°$，
由正弦定理$\frac{BP}{\sin\angle BCP}=\frac{BC}{\sin\angle BPC}$，即$\frac{x}{\sin36°}=\frac{BC}{\sin108°}$，
$BC=\frac{x\sin108°}{\sin36°}=\frac{x\cos18°}{\sin36°}\approx\frac{x×0.9511}{0.5878}\approx1.618x$，
$\angle BAC=36°$，$\angle ABC=108°$，$\frac{AP}{\sin\angle ABP}=\frac{BP}{\sin\angle BAC}$，
$\angle ABP=108°-36°=72°$，
∴$AP=\frac{BP\sin72°}{\sin36°}=\frac{x×0.9511}{0.5878}\approx1.618x\neq2x$，④错误。
综上，正确结论是①②③。
答案：①②③
16. 如图,在$\odot O$中,$AB是\odot O$的直径,$AB= 10$,$\overset{\frown}{AC}= \overset{\frown}{CD}= \overset{\frown}{DB}$,点$E是点D关于AB$的对称点,$M是AB$上的一动点,有下列结论：①$\angle BOE= 60^{\circ}$；②$\angle CED= \frac{1}{2}\angle AOD$；③$DM\perp CE$；④$CM+DM$的最小值是10。上述结论中正确的个数是______。
答案
2
解析
解：①
∵AB是直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB=60°$。
∵E是D关于AB的对称点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，$\angle BOE=\angle DOB=60°$，①正确。
②$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=120°$，$\frac{1}{2}\angle AOD=60°$。
$\angle CED$为$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角，$\angle CED=\frac{1}{2}\angle COD=30°\neq60°$，②错误。
③假设$DM\perp CE$，取M与O重合，$OD=OE=OC=5$，$\angle COD=60°$，$\triangle OCD$为等边三角形，$CD=5$。$CE=\sqrt{OC^2+OE^2-2OC\cdot OE\cos120°}=5\sqrt{3}$，$DE=2×5\sin60°=5\sqrt{3}$，$CD^2+DE^2=25+75=100\neq CE^2=75$，$DM\perp CE$不成立，③错误。
④作C关于AB对称点$C'$，则$CM=C'M$，$CM+DM=C'M+DM\geq C'E$（当M在$C'E$与AB交点时取等）。$C'E$为直径，$C'E=10$，④正确。
综上，正确结论为①④，个数是2。
答案：2
∵AB是直径，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{DB}$，
∴$\angle AOC=\angle COD=\angle DOB=60°$。
∵E是D关于AB的对称点，
∴$\overset{\frown}{BE}=\overset{\frown}{BD}$，$\angle BOE=\angle DOB=60°$，①正确。
②$\angle AOD=\angle AOC+\angle COD=120°$，$\frac{1}{2}\angle AOD=60°$。
$\angle CED$为$\overset{\frown}{CD}$所对圆周角，$\angle CED=\frac{1}{2}\angle COD=30°\neq60°$，②错误。
③假设$DM\perp CE$，取M与O重合，$OD=OE=OC=5$，$\angle COD=60°$，$\triangle OCD$为等边三角形，$CD=5$。$CE=\sqrt{OC^2+OE^2-2OC\cdot OE\cos120°}=5\sqrt{3}$，$DE=2×5\sin60°=5\sqrt{3}$，$CD^2+DE^2=25+75=100\neq CE^2=75$，$DM\perp CE$不成立，③错误。
④作C关于AB对称点$C'$，则$CM=C'M$，$CM+DM=C'M+DM\geq C'E$（当M在$C'E$与AB交点时取等）。$C'E$为直径，$C'E=10$，④正确。
综上，正确结论为①④，个数是2。
答案：2
