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7. 下列命题中,不正确的是 (
A.同旁内角互补
B.若 $ |a| = -a $,则 $ a \leqslant 0 $
C.如果一个数的平方根是它本身,那么这个数只能是 $ 0 $
D.如果一个数的立方根是它本身,那么这个数可能是 $ 0 $,$ 1 $ 或 $ -1 $
A
)A.同旁内角互补
B.若 $ |a| = -a $,则 $ a \leqslant 0 $
C.如果一个数的平方根是它本身,那么这个数只能是 $ 0 $
D.如果一个数的立方根是它本身,那么这个数可能是 $ 0 $,$ 1 $ 或 $ -1 $
答案
A
解析
A. 同旁内角互补的前提是两直线平行，题目中缺少这一前提条件，所以该命题不正确。
B. 若$\vert a\vert=-a$，根据绝对值的性质，当$a\leqslant0$时，$\vert a\vert = -a$成立，该命题正确。
C. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$，负数没有平方根，所以如果一个数的平方根是它本身，那么这个数只能是$0$，该命题正确。
D. 如果一个数的立方根是它本身，设这个数为$x$，即$\sqrt[3]{x}=x$，也就是$x^3 - x = 0$，$x(x^2 - 1)=0$，$x(x - 1)(x + 1)=0$，解得$x = 0$或$x = 1$或$x = -1$，该命题正确。
B. 若$\vert a\vert=-a$，根据绝对值的性质，当$a\leqslant0$时，$\vert a\vert = -a$成立，该命题正确。
C. 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$，负数没有平方根，所以如果一个数的平方根是它本身，那么这个数只能是$0$，该命题正确。
D. 如果一个数的立方根是它本身，设这个数为$x$，即$\sqrt[3]{x}=x$，也就是$x^3 - x = 0$，$x(x^2 - 1)=0$，$x(x - 1)(x + 1)=0$，解得$x = 0$或$x = 1$或$x = -1$，该命题正确。
▲8. 对于数对 $ (a,b) $,$ (c,d) $,定义：当且仅当 $ a = c $ 且 $ b = d $ 时,$ (a,b) = (c,d) $.定义其运算如下：$ (a,b)※(c,d) = (ac - bd,ad + bc) $,如 $ (1,2)※(3,4) = (1 × 3 - 2 × 4,1 × 4 + 2 × 3) = (-5,10) $.若 $ (x,y)※(1,1) = (1,3) $,则 $ x^{y} $ 的值是
2
.答案
根据定义，$(x,y)※(1,1)=(x \cdot 1 - y \cdot 1, x \cdot 1 + y \cdot 1) = (x - y, x + y)$。
已知 $(x,y)※(1,1) = (1,3)$，则：
$\begin{cases}x - y = 1, \\x + y = 3.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2x = 4 \implies x = 2$，
将 $x = 2$ 代入 $x - y = 1$，得到：
$2 - y = 1 \implies y = 1$，
所以 $x^y = 2^1 = 2$。
故答案为：$2$。
已知 $(x,y)※(1,1) = (1,3)$，则：
$\begin{cases}x - y = 1, \\x + y = 3.\end{cases}$
将两个方程相加，得到：
$2x = 4 \implies x = 2$，
将 $x = 2$ 代入 $x - y = 1$，得到：
$2 - y = 1 \implies y = 1$，
所以 $x^y = 2^1 = 2$。
故答案为：$2$。
9. 现规定 $ a $,$ b $ 两数之间的一种运算,记作 $ (a,b) $：若 $ a^{c} = b $,则 $ (a,b) = c $.如 $ (2,8) = 3 $.试说明下列结论均正确.
(1) 对于任意自然数 $ n $,都有 $ (3^{n},4^{n}) = (3,4) $.
(2) $ (3,4) + (3,5) = (3,20) $.
(1) 对于任意自然数 $ n $,都有 $ (3^{n},4^{n}) = (3,4) $.
(2) $ (3,4) + (3,5) = (3,20) $.
答案
(1)设$(3,4)=c$，由定义得$3^c = 4$。则$(3^n)^c = 3^{nc}=(3^c)^n=4^n$，由定义知$(3^n,4^n)=c$，故$(3^n,4^n)=(3,4)$。
(2)设$(3,4)=a$，$(3,5)=b$，由定义得$3^a = 4$，$3^b = 5$。则$3^{a+b}=3^a \cdot 3^b=4×5=20$，由定义知$(3,20)=a+b$，故$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。
(2)设$(3,4)=a$，$(3,5)=b$，由定义得$3^a = 4$，$3^b = 5$。则$3^{a+b}=3^a \cdot 3^b=4×5=20$，由定义知$(3,20)=a+b$，故$(3,4)+(3,5)=(3,20)$。
10. 定义一种对于三位数 $\overline{abc}$($a$,$b$,$c$ 不完全相同)的“$ F $ 运算”：重排 $\overline{abc}$ 的三个数位上的数字,计算所得最大三位数和最小三位数的差(允许百位数字为零).如：若 $\overline{abc} = 213 $,则 $\boxed{213} \xrightarrow{F} \boxed{198} $($ 321 - 123 = 198 $)$ \xrightarrow{F} \boxed{792} $($ 981 - 189 = 792 $).
(1) $ 579 $ 经过三次“$ F $ 运算”得
(2) 假设 $\overline{abc} $ 中 $ a ＞ b ＞ c $,则 $\overline{abc} $ 经过一次“$ F $ 运算”得
★(3) 猜想：任意一个三位数经过若干次“$ F $ 运算”都会得到一个定值
(1) $ 579 $ 经过三次“$ F $ 运算”得
495
.(2) 假设 $\overline{abc} $ 中 $ a ＞ b ＞ c $,则 $\overline{abc} $ 经过一次“$ F $ 运算”得
$99(a - c)$
(用代数式表示).★(3) 猜想：任意一个三位数经过若干次“$ F $ 运算”都会得到一个定值
495
,请证明你的猜想.答案
(1)495；(2)$99(a - c)$；(3)495。
解析
(1) 对579进行第一次“F运算”：最大数975，最小数579，差为975-579=396；第二次：396的最大数963，最小数369，差为963-369=594；第三次：594的最大数954，最小数459，差为954-459=495。故答案为495。
(2) 因$a＞b＞c$，最大三位数为$100a+10b+c$，最小三位数为$100c+10b+a$，差为$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$。故答案为$99(a - c)$。
(3) 猜想定值为495。证明：任意三位数经“F运算”后得99的倍数（设三位数数字重排后最大数$100x+10y+z$，最小数$100z+10y+x$，差为$99(x-z)$）。99的三位数倍数有198,297,396,495,594,693,792,891,990。对这些数进行“F运算”：198→792→693→594→495；297→693→594→495；396→594→495；594→495；693→594→495；792→693→594→495；891→792→693→594→495；990→891→792→693→594→495；495→495。综上，任意三位数经若干次“F运算”后得495。
(2) 因$a＞b＞c$，最大三位数为$100a+10b+c$，最小三位数为$100c+10b+a$，差为$(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c)$。故答案为$99(a - c)$。
(3) 猜想定值为495。证明：任意三位数经“F运算”后得99的倍数（设三位数数字重排后最大数$100x+10y+z$，最小数$100z+10y+x$，差为$99(x-z)$）。99的三位数倍数有198,297,396,495,594,693,792,891,990。对这些数进行“F运算”：198→792→693→594→495；297→693→594→495；396→594→495；594→495；693→594→495；792→693→594→495；891→792→693→594→495；990→891→792→693→594→495；495→495。综上，任意三位数经若干次“F运算”后得495。
