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1. 若连结圆上两点的最长线段长为6,则此圆的面积为
9π
.答案
$9\pi$
解析
圆上两点间的最长线段为圆的直径，已知直径为$6$，则半径$r = \frac{6}{2}=3$，根据圆的面积公式$S = \pi r^{2}$，可得$S = \pi×3^{2}=9\pi$。
2. $\odot O$的半径为13,圆心$O到直线l的距离d = OD = 5$.在直线$l上有三点P$,$Q$,$R$,且$PD = 12$,$QD = 11$,$RD = 13$,则点$P在\odot O$
上
,点$Q在\odot O$内
,点$R在\odot O$外
.答案
上，内，外
解析
本题可根据点与圆的位置关系，通过比较点与圆心的距离和圆半径的大小来判断点与圆的位置关系。
设圆的半径为$r$，点$A$到圆心$O$的距离为$d_{A}$，则有：当$d_{A}\lt r$时，点$A$在圆内；当$d_{A}=r$时，点$A$在圆上；当$d_{A}\gt r$时，点$A$在圆外。
已知$\odot O$的半径$r = 13$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = OD = 5$。
判断点$P$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle OPD$中，根据勾股定理可求出$OP$的长度，$OP=\sqrt{OD^{2}+PD^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$。
因为$OP = 13$，$r = 13$，即$OP=r$，所以点$P$在$\odot O$上。
判断点$Q$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle OQD$中，根据勾股定理可求出$OQ$的长度，$OQ=\sqrt{OD^{2}+QD^{2}}=\sqrt{5^{2}+11^{2}}=\sqrt{25 + 121}=\sqrt{146}\lt\sqrt{169}=13$。
因为$OQ\lt 13$，$r = 13$，即$OQ\lt r$，所以点$Q$在$\odot O$内。
判断点$R$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle ORD$中，根据勾股定理可求出$OR$的长度，$OR=\sqrt{OD^{2}+RD^{2}}=\sqrt{5^{2}+13^{2}}=\sqrt{25 + 169}=\sqrt{194}\gt\sqrt{169}=13$。
因为$OR\gt 13$，$r = 13$，即$OR\gt r$，所以点$R$在$\odot O$外。
设圆的半径为$r$，点$A$到圆心$O$的距离为$d_{A}$，则有：当$d_{A}\lt r$时，点$A$在圆内；当$d_{A}=r$时，点$A$在圆上；当$d_{A}\gt r$时，点$A$在圆外。
已知$\odot O$的半径$r = 13$，圆心$O$到直线$l$的距离$d = OD = 5$。
判断点$P$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle OPD$中，根据勾股定理可求出$OP$的长度，$OP=\sqrt{OD^{2}+PD^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=\sqrt{25 + 144}=\sqrt{169}=13$。
因为$OP = 13$，$r = 13$，即$OP=r$，所以点$P$在$\odot O$上。
判断点$Q$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle OQD$中，根据勾股定理可求出$OQ$的长度，$OQ=\sqrt{OD^{2}+QD^{2}}=\sqrt{5^{2}+11^{2}}=\sqrt{25 + 121}=\sqrt{146}\lt\sqrt{169}=13$。
因为$OQ\lt 13$，$r = 13$，即$OQ\lt r$，所以点$Q$在$\odot O$内。
判断点$R$与$\odot O$的位置关系：
在$Rt\triangle ORD$中，根据勾股定理可求出$OR$的长度，$OR=\sqrt{OD^{2}+RD^{2}}=\sqrt{5^{2}+13^{2}}=\sqrt{25 + 169}=\sqrt{194}\gt\sqrt{169}=13$。
因为$OR\gt 13$，$r = 13$，即$OR\gt r$，所以点$R$在$\odot O$外。
3. 在$\mathrm{Rt}\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$CD\perp AB$,$AC = 3$,$BC = 4$,若以$C$为圆心,以3为半径作$\odot C$,则点$A在\odot C$
上
,点$B在\odot C$外
,点$D在\odot C$内
.答案
上，外，内
解析
在$Rt\triangle ABC$中，由于$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$BC = 4$，根据勾股定理可得$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2}} = 5$。
对于点$A$：由于$AC = 3$，且圆的半径也为$3$，所以点$A$在$\odot C$上。
对于点$B$：比较$BC$与圆的半径。因为$BC = 4 ＞ 3$，所以点$B$在$\odot C$外。
对于点$D$：首先，根据直角三角形的面积公式，有$AC × BC = AB × CD$。代入已知值，得到$CD = \frac{AC × BC}{AB} = \frac{12}{5} = 2.4$。由于$2.4 ＜ 3$，所以点$D$在$\odot C$内。
对于点$A$：由于$AC = 3$，且圆的半径也为$3$，所以点$A$在$\odot C$上。
对于点$B$：比较$BC$与圆的半径。因为$BC = 4 ＞ 3$，所以点$B$在$\odot C$外。
对于点$D$：首先，根据直角三角形的面积公式，有$AC × BC = AB × CD$。代入已知值，得到$CD = \frac{AC × BC}{AB} = \frac{12}{5} = 2.4$。由于$2.4 ＜ 3$，所以点$D$在$\odot C$内。
4. 如图,$OA是\odot O$的半径,$B为OA$上一点(且不与点$O$,$A$重合),过点$B作OA的垂线交\odot O于点C$.以$OB$,$BC为边作矩形OBCD$,连结$BD$.若$BD = 10$,$BC = 8$,则$AB$的长为(
A.8
B.6
C.4
D.2
C
)A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
∵四边形OBCD是矩形，
∴OD=BC=8，∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，BD=10，OD=8，
由勾股定理得：OB=$\sqrt{BD^2-OD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$，
∵BC⊥OA，BC=8，OB=6，
∴OC=$\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$，
∵OA=OC=10（同圆半径相等），
∴AB=OA-OB=10-6=4.
5. 下列结论正确的是(
A.弦是直径
B.长度相等的两条弧一定是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
C
)A.弦是直径
B.长度相等的两条弧一定是等弧
C.半圆是弧
D.过圆心的线段是直径
答案
C
解析
A. 弦不一定是直径，只有经过圆心的弦才是直径，因此A错误；
B. 长度相等的两条弧不一定是等弧，等弧需要在同圆或等圆中且弯曲方向相同，因此B错误；
C. 半圆是弧的一种特殊情况，是弧的一种，因此C正确；
D. 过圆心且两个端点在圆上的线段才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，因此D错误。
B. 长度相等的两条弧不一定是等弧，等弧需要在同圆或等圆中且弯曲方向相同，因此B错误；
C. 半圆是弧的一种特殊情况，是弧的一种，因此C正确；
D. 过圆心且两个端点在圆上的线段才是直径，不是所有过圆心的线段都是直径，因此D错误。
6. 如图,$OA$,$OB为\odot O$的半径,$C$,$D分别为OA$,$OB$的中点.
求证：$\angle A = \angle B$.
求证：$\angle A = \angle B$.
答案
证明：
由题意知$OA$，$OB$为$\odot O$的半径，
所以$OA = OB$。
因为$C$，$D$分别为$OA$，$OB$的中点，
所以$OC=\frac{1}{2}OA$，$OD = \frac{1}{2}OB$，
则$OC = OD$。
在$\triangle OAC$与$\triangle OBD$中，
$\begin{cases}OA = OB\\\angle AOC=\angle BOD\\OC = OD\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle OAC\cong\triangle OBD$。
所以$\angle A=\angle B$。
由题意知$OA$，$OB$为$\odot O$的半径，
所以$OA = OB$。
因为$C$，$D$分别为$OA$，$OB$的中点，
所以$OC=\frac{1}{2}OA$，$OD = \frac{1}{2}OB$，
则$OC = OD$。
在$\triangle OAC$与$\triangle OBD$中，
$\begin{cases}OA = OB\\\angle AOC=\angle BOD\\OC = OD\end{cases}$
根据“边角边”（$SAS$）全等判定定理，可得$\triangle OAC\cong\triangle OBD$。
所以$\angle A=\angle B$。
