登录
1. 下列条件中,不能判断一个三角形是直角三角形的是 (
A.三个角的比是 $1:2:3$
B.三条边满足关系 $a^{2}= c^{2}-b^{2}$
C.三条边的比是 $2:3:4$
D.三条边长为 $1,2,\sqrt{3}$
C
)A.三个角的比是 $1:2:3$
B.三条边满足关系 $a^{2}= c^{2}-b^{2}$
C.三条边的比是 $2:3:4$
D.三条边长为 $1,2,\sqrt{3}$
答案
C
解析
A. 设三个角分别为 $x$, $2x$, $3x$，由三角形内角和定理得 $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$，解得 $x = 30^{\circ}$，所以三个角分别为 $30^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$，能判断是直角三角形，不符合题意。
B. 由 $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ 可得 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
C. 设三条边分别为 $2x$, $3x$, $4x$，计算得 $(2x)^{2} + (3x)^{2} = 4x^{2} + 9x^{2} = 13x^{2}$，$(4x)^{2} = 16x^{2}$，因为 $13x^{2} \neq 16x^{2}$，所以不能判断是直角三角形，符合题意。
D. 因为 $1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 1 + 3 = 4 = 2^{2}$，根据勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
B. 由 $a^{2} = c^{2} - b^{2}$ 可得 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$，根据勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
C. 设三条边分别为 $2x$, $3x$, $4x$，计算得 $(2x)^{2} + (3x)^{2} = 4x^{2} + 9x^{2} = 13x^{2}$，$(4x)^{2} = 16x^{2}$，因为 $13x^{2} \neq 16x^{2}$，所以不能判断是直角三角形，符合题意。
D. 因为 $1^{2} + (\sqrt{3})^{2} = 1 + 3 = 4 = 2^{2}$，根据勾股定理的逆定理，能判断是直角三角形，不符合题意。
2. 已知 $\triangle ABC$ 的三条边长分别是 $6\mathrm{cm},8\mathrm{cm},10\mathrm{cm}$,则 $\triangle ABC$ 的面积是 (
A.$24\mathrm{cm}^{2}$
B.$30\mathrm{cm}^{2}$
C.$40\mathrm{cm}^{2}$
D.$48\mathrm{cm}^{2}$
A
)A.$24\mathrm{cm}^{2}$
B.$30\mathrm{cm}^{2}$
C.$40\mathrm{cm}^{2}$
D.$48\mathrm{cm}^{2}$
答案
A
解析
因为$6^{2}+8^{2}=36 + 64=100=10^{2}$，满足勾股定理逆定理，所以$\triangle ABC$是直角三角形，两直角边为$6\mathrm{cm}$和$8\mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为两直角边），可得$S=\frac{1}{2}×6×8 = 24\mathrm{cm}^{2}$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$（$a$、$b$为两直角边），可得$S=\frac{1}{2}×6×8 = 24\mathrm{cm}^{2}$。
3. 如图为一块农家菜地的平面图,其中 $AD = 4\mathrm{m},CD = $ $3\mathrm{m},AB = 13\mathrm{m},BC = 12\mathrm{m},\angle ADC = 90^{\circ}$,则这块菜地的面积为 $
]
24
\mathrm{m}^{2}$。]
答案
24
解析
在Rt△ADC中，AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，由勾股定理得AC=√(AD²+CD²)=√(4²+3²)=5m。在△ABC中，AC=5m，BC=12m，AB=13m，因为5²+12²=13²，所以△ABC是直角三角形，∠ACB=90°。S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×5×12=30m²，S△ADC=1/2×AD×CD=1/2×4×3=6m²。菜地面积=S△ABC - S△ADC=30 - 6=24m²。
4. 在 $\triangle ABC$ 中,$BC = a,AC = b,AB = c$,相应的三角形是不是直角三角形？如果是,指出哪个角是直角；若不是,请说明理由。
(1) $a = 7,b = 24,c = 25$。 (2) $a= \frac{2}{3},b = 1,c= \frac{5}{4}$。
(1) $a = 7,b = 24,c = 25$。 (2) $a= \frac{2}{3},b = 1,c= \frac{5}{4}$。
答案
(1)
在$\triangle ABC$中，$BC = a = 7$，$AC = b = 24$，$AB = c = 25$。
计算$a^{2}+b^{2}$的值为：
$a^{2}+b^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576=625$
$c^{2}=25^{2}=625$
因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，满足勾股定理的逆定理。
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$。
(2)
在$\triangle ABC$中，$BC = a=\frac{2}{3}$，$AC = b = 1$，$AB = c=\frac{5}{4}$。
计算$a^{2}+b^{2}$的值为：
$a^{2}+b^{2}=(\frac{2}{3})^{2}+1^{2}=\frac{4}{9}+1=\frac{4 + 9}{9}=\frac{13}{9}$
$c^{2}=(\frac{5}{4})^{2}=\frac{25}{16}$
因为$\frac{13}{9}\neq\frac{25}{16}$，即$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$。
所以$\triangle ABC$不是直角三角形。
综上，(1)中$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$；(2)中$\triangle ABC$不是直角三角形。
在$\triangle ABC$中，$BC = a = 7$，$AC = b = 24$，$AB = c = 25$。
计算$a^{2}+b^{2}$的值为：
$a^{2}+b^{2}=7^{2}+24^{2}=49 + 576=625$
$c^{2}=25^{2}=625$
因为$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，满足勾股定理的逆定理。
所以$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$。
(2)
在$\triangle ABC$中，$BC = a=\frac{2}{3}$，$AC = b = 1$，$AB = c=\frac{5}{4}$。
计算$a^{2}+b^{2}$的值为：
$a^{2}+b^{2}=(\frac{2}{3})^{2}+1^{2}=\frac{4}{9}+1=\frac{4 + 9}{9}=\frac{13}{9}$
$c^{2}=(\frac{5}{4})^{2}=\frac{25}{16}$
因为$\frac{13}{9}\neq\frac{25}{16}$，即$a^{2}+b^{2}\neq c^{2}$。
所以$\triangle ABC$不是直角三角形。
综上，(1)中$\triangle ABC$是直角三角形，$\angle C = 90^{\circ}$；(2)中$\triangle ABC$不是直角三角形。
5. 三边长 $a,b,c$ 满足关系 $(a - b)(a^{2}+b^{2}-c^{2}) = 0$ 的 $\triangle ABC$ 是什么三角形？
小明说 $\triangle ABC$ 是等腰三角形；小刚说 $\triangle ABC$ 是直角三角形；小亮说 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；小慧说 $\triangle ABC$ 或是等腰三角形或是直角三角形。
亲爱的同学,你认为谁的说法正确,若都不正确,则正确的应该怎样说呢？
小明说 $\triangle ABC$ 是等腰三角形；小刚说 $\triangle ABC$ 是直角三角形；小亮说 $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；小慧说 $\triangle ABC$ 或是等腰三角形或是直角三角形。
亲爱的同学,你认为谁的说法正确,若都不正确,则正确的应该怎样说呢？
答案
因为$(a - b)(a^{2}+b^{2}-c^{2}) = 0$，所以$a - b = 0$或$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$。
当$a - b = 0$时，$a = b$，$\triangle ABC$是等腰三角形；
当$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$时，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\triangle ABC$是直角三角形；
当$a - b = 0$且$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$时，$a = b$且$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\triangle ABC$是等腰直角三角形（等腰直角三角形是特殊的等腰三角形和直角三角形）。
综上，$\triangle ABC$或是等腰三角形或是直角三角形。
小慧的说法正确。
当$a - b = 0$时，$a = b$，$\triangle ABC$是等腰三角形；
当$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$时，$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\triangle ABC$是直角三角形；
当$a - b = 0$且$a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$时，$a = b$且$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，$\triangle ABC$是等腰直角三角形（等腰直角三角形是特殊的等腰三角形和直角三角形）。
综上，$\triangle ABC$或是等腰三角形或是直角三角形。
小慧的说法正确。
6. 已知 $M,N$ 是线段 $AB$ 上的两点,$AM = MN = 2,NB = 1$,以点 $A$ 为圆心,$AN$ 长为半径画弧；再以点 $B$ 为圆心,$BM$ 长为半径画弧,两弧交于点 $C$,连结 $AC$,$BC$,则 $\triangle ABC$ 一定是 (
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
B
解析
∵AM=MN=2，NB=1，
∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5，
AN=AM+MN=4，BM=MN+NB=3，
由题意得AC=AN=4，BC=BM=3，
∵AC²+BC²=4²+3²=16+9=25=5²=AB²，
∴△ABC是直角三角形。
