7. 如图，$ A,B,C $ 三个村之间分别修建了一条互通公路，其中 $ AB=BC $。现计划在公路 $ BC $ 旁开发一个景点 $ M $（$ B,C,M $ 在同一条直线上）。为方便 $ A $ 村村民前往景点 $ M $，又修建了一条公路 $ AM $，测得 $ AC=13\,\mathrm{km},CM=5\,\mathrm{km},AM=12\,\mathrm{km} $。
（1）判断 $ \triangle ACM $ 的形状，并说明理由。
（2）求公路 $ AB $ 的长。

解：​
(1)△ACM​是直角三角形，理由如下：
∵$​AC=13\ \mathrm {km}，$$​​CM=5\ \mathrm {km}，$$​​AM=12\ \mathrm {km}​$
∴$​CM^2+AM^2=AC^2​$
∴​△ACM​是直角三角形
​
(2)​设$​AB=BC=x\mathrm {km}，$​则$​BM=(x-5)\mathrm {km}​$
由​
(1)​可知，​∠AMC=90°​
∴​∠AMB=180°-∠AMC=90°​
在​Rt△ABM​中，由勾股定理，
得$​12^2+(x-5)^2=x^2​$
解得​x=16.9​
∴公路​AB​的长为$​16.9\ \mathrm {km}​$

8. 如图①，直角三角形的两条直角边的长度分别是 $ a,b(a\lt b) $，斜边的长度为 $ c $。
（1）探究：如图②，用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形。
①小正方形的边长为 $ c $，大正方形的边长为；
②由大正方形面积的不同表示方式可以得出等式，整理，得，从而验证勾股定理。
（2）应用：将两个这样的直角三角形按图③所示进行摆放，使 $ BC $ 和 $ CD $ 在同一条直线上，连接 $ AE $。请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理。

a + b
$​ (a + b)^2=2ab + c^2​$
$a^2 + b^2 = c^2$
解：​(2)​∵​∠BAC+∠ACB=90°，​
​∠BAC=∠ECD​
∴​∠ECD+∠ACB=90°​
∴​∠ACE=90°​
用两种不同的方法表示出梯形​ABDE​的面积，
可得$​\frac 12(a+b)(a+b)=2×\frac 12ab+\frac 12c^2​$
∴$​a^2+2ab+b^2=2ab+c^2​$
∴$​a^2+b^2=c^2​$