【例1】已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}≠1$，试判断$\frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}$是否成立。

设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k(k\neq1)$，则$a=bk$，$c=dk$。
1. 当为“$+$”时：
左边$\frac{a}{a+b}=\frac{bk}{bk+b}=\frac{bk}{b(k+1)}=\frac{k}{k+1}$；
右边$\frac{c}{c+d}=\frac{dk}{dk+d}=\frac{dk}{d(k+1)}=\frac{k}{k+1}$；
左边=右边，故$\frac{a}{a+b}=\frac{c}{c+d}$成立。
2. 当为“$-$”时：
左边$\frac{a}{a-b}=\frac{bk}{bk-b}=\frac{bk}{b(k-1)}=\frac{k}{k-1}$；
右边$\frac{c}{c-d}=\frac{dk}{dk-d}=\frac{dk}{d(k-1)}=\frac{k}{k-1}$；
左边=右边，故$\frac{a}{a-b}=\frac{c}{c-d}$成立。
综上，$\frac{a}{a\pm b}=\frac{c}{c\pm d}$成立。

1. 已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}(a≠b)$。
(1)如果$a=1$，$b=2$，$c+d=6$，求$c$，$d$的值；
(2)求证：$\frac{b - a}{d - c}=\frac{b}{d}$。

(1)
已知$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$，$a = 1$，$b = 2$，则$\frac{1}{2}=\frac{c}{d}$，即$d = 2c$。
又因为$c + d=6$，将$d = 2c$代入$c + d=6$中，得到$c+2c=6$，即$3c = 6$，解得$c = 2$。
把$c = 2$代入$d = 2c$，得$d = 4$。
(2)
证明：
设$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k$，则$a = bk$，$c = dk$。
$\frac{b - a}{d - c}=\frac{b - bk}{d - dk}=\frac{b(1 - k)}{d(1 - k)}$。
因为$a\neq b$，所以$k\neq1$，$1 - k\neq0$，则$\frac{b(1 - k)}{d(1 - k)}=\frac{b}{d}$，即$\frac{b - a}{d - c}=\frac{b}{d}$。
综上，答案为：(1)$c = 2$，$d = 4$；(2)证明过程如上述。

【例2】填写下表：
由填写完成的表，你能提出关于$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值的一些猜想吗？能证明你提出的猜想吗？

【变式训练】
2. 小聪填完例2中的表格后，又试了很多$x$的值，发现只有当$x = 1$或$x = - 1$时，$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$的值最小为$2$，小聪的猜想是否正确呢？请说明理由。

表格填写：| $x$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $-\frac{1}{2}$ | $-\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $3$ ||-------------|--------|--------|--------|------------------|------------------|----------------|----------------|-------|-------|-------|| $x^2+\frac{1}{x^2}$ | $\frac{82}{9}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{257}{16}$ | $\frac{257}{16}$ | $\frac{17}{4}$ | $2$ | $\frac{17}{4}$ | $\frac{82}{9}$ | 猜想：1. 对于非零实数$x$，$x^2+\frac{1}{x^2}$的值与$\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2}$的值相等；2. 对于非零实数$x$，$x^2+\frac{1}{x^2}\geq2$，当且仅当$x=\pm1$时，等号成立。 证明：1. 证明猜想1： $\left(\frac{1}{x}\right)^2+\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2}=\frac{1}{x^2}+x^2=x^2+\frac{1}{x^2}$，故猜想1成立。2. 证明猜想2： 由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\geq0$（$a,b$为实数），令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$（$x\neq0$），则： $\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2· x·\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2=x^2-2+\frac{1}{x^2}\geq0$， 移项得$x^2+\frac{1}{x^2}\geq2$。 当且仅当$\left(x-\frac{1}{x}\right)^2=0$，即$x-\frac{1}{x}=0$，$x^2=1$，$x=\pm1$时，等号成立。故猜想2成立。
@@小聪的猜想正确。理由如下：设$y = x^2 + \frac{1}{x^2}$（$x \neq 0$），由完全平方公式可得： $y = x^2 + \frac{1}{x^2} = (x - \frac{1}{x})^2 + 2$。 因为$(x - \frac{1}{x})^2 \geq 0$（任何数的平方非负），所以$y = (x - \frac{1}{x})^2 + 2 \geq 2$。 当且仅当$(x - \frac{1}{x})^2 = 0$时，$y$取最小值2。此时$x - \frac{1}{x} = 0$，解得$x^2 = 1$，即$x = 1$或$x = -1$。 综上，只有当$x = 1$或$x = -1$时，$x^2 + \frac{1}{x^2}$的值最小为2，小聪的猜想正确。