10. 在解一元二次方程$x^{2}+bx+c= 0$时,小明看错了一次项系数b,得到的解为$x_{1}= 2,x_{2}= 3$;小刚看错了常数项c,得到的解为$x_{1}= 1,x_{2}= 4$.请你写出正确的一元二次方程:.

A

小明看错一次项系数$b$，常数项$c$正确。根据韦达定理，$x_1x_2 = c$，所以$c = 2×3 = 6$。
小刚看错常数项$c$，一次项系数$b$正确。根据韦达定理，$x_1 + x_2 = -b$，所以$-b = 1 + 4 = 5$，即$b = -5$。
正确的一元二次方程为$x^2 - 5x + 6 = 0$。
$x^2 - 5x + 6 = 0$

11. 已知关于x的一元二次方程$x^{2}+(2k+3)x+k^{2}= 0$.
(1)当k取何值时,方程有两个不相等的实数根?
(2)若方程有两个实数根$x_{1},x_{2}$,且满足$\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}= -1$,求k的值.

(1) 对于方程 $x^{2}+(2k+3)x+k^{2}= 0$，其判别式为：
$\Delta = (2k+3)^{2} - 4 × 1 × k^{2} = 4k^{2} + 12k + 9 - 4k^{2} = 12k + 9$
要求方程有两个不相等的实数根，即：
$\Delta ＞ 0$
$12k + 9 ＞ 0$
$k ＞ -\frac{3}{4}$
(2) 根据一元二次方程的根与系数的关系，我们有：
$x_{1} + x_{2} = - (2k + 3)$
$x_{1}x_{2} = k^{2}$
由给定的条件 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} = -1$，我们可以得到：
$\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1}x_{2}} = -1$
代入 $x_{1} + x_{2}$ 和 $x_{1}x_{2}$ 的值，我们得到：
$\frac{- (2k + 3)}{k^{2}} = -1$
$2k + 3 = k^{2}$
$k^{2} - 2k - 3 = 0$
$(k - 3)(k + 1) = 0$
$k = 3 \quad 或 \quad k = -1$
由于 $k ＞ -\frac{3}{4}$，所以 $k = -1$ 不满足条件，舍去。
所以 $k = 3$。

12. 阅读材料,解答下列问题.
已知实数m,n满足$m^{2}-m-1= 0,n^{2}-n-1= 0$,且$m\neq n$,则m,n是方程$x^{2}-x-1= 0$的两个不相等的实数根,由一元二次方程根与系数的关系可知$m+n= 1,mn= -1$.
(1)直接应用:已知实数a,b满足:$a^{2}-7a+1= 0,b^{2}-7b+1= 0且a\neq b$,则$a+b=$,ab=;
(2)间接应用:在(1)的条件下,求$\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}$的值;

(3)拓展应用:已知实数m,n满足:$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}= 7,n^{2}-n= 7且mn\neq -1$,求$\frac{1}{m^{2}}+n^{2}$的值.

(1)7，1；(2)3；(3)15。

(1)7，1；
(2)设$t = \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}$，则$t＞0$，$t^{2}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{\sqrt{ab}}=\frac{a+b}{ab}+\frac{2}{\sqrt{ab}}$，由
(1)知$a+b=7$，$ab=1$，$t^{2}=7 + 2=9$，$t=3$；
(3)由$\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{m}=7$得$(\frac{1}{m})^{2}+\frac{1}{m}-7=0$，由$n^{2}-n=7$得$n^{2}-n-7=0$，即$(-n)^{2}+(-n)-7=0$，因$mn\neq -1$，故$\frac{1}{m}\neq -n$，$\frac{1}{m}$，$-n$是$x^{2}+x - 7=0$两根，$\frac{1}{m}+(-n)=-1$，$\frac{1}{m}\cdot(-n)=-7$，$\frac{1}{m}-n=-1$，$\frac{n}{m}=7$，$\frac{1}{m^{2}}=7-\frac{1}{m}$，$n^{2}=n + 7$，$\frac{1}{m^{2}}+n^{2}=7-\frac{1}{m}+n + 7=14 + (n-\frac{1}{m})=14 + 1=15$。