14. 已知直线 $ y= 2x+b $ 与坐标轴围成的三角形的面积是 4,则 b 的值是()
A.4
B.2
C.±4
D.±2

C

当$x=0$时，$y=2×0+b=b$，直线与$y$轴交点为$(0,b)$；
当$y=0$时，$0=2x+b$，解得$x=-\dfrac{b}{2}$，直线与$x$轴交点为$\left(-\dfrac{b}{2},0\right)$。
三角形面积$S=\dfrac{1}{2}×\left|-\dfrac{b}{2}\right|×|b|=\dfrac{1}{2}×\dfrac{|b|}{2}×|b|=\dfrac{|b|^2}{4}$。
已知$S=4$，则$\dfrac{|b|^2}{4}=4$，$|b|^2=16$，$|b|=4$，$b=\pm4$。
C

15. 在平面直角坐标系中,过一点分别作坐标轴的垂线,若与坐标轴围成的长方形的周长与面积在数量上相等,则这个点叫作和谐点。
(1)判断点 M(-1,2),N(-4,-4)是否为和谐点,并说明理由。
(2)若和谐点 P(a,3)在直线 $ y= -x+b $(b 为常数)上,试求 a,b 的值。

(1)
对于点$M(-1,2)$：
面积 $S_M = |-1| × 2 = 2$；
周长 $C_M = 2(|-1| + 2) = 6$；
因为 $S_M \neq C_M$，所以点M不是和谐点。
对于点$N(-4,-4)$：
面积 $S_N = |-4| × |-4| = 16$；
周长 $C_N = 2(|-4| + |-4|) = 16$；
因为 $S_N = C_N$，所以点N是和谐点。
(2)
对于和谐点$P(a,3)$：
面积 $S_P = |a| × 3$；
周长 $C_P = 2(|a| + 3)$；
由 $S_P = C_P$，得 $|a| × 3 = 2(|a| + 3)$；
解此方程，得 $|a| = 6$，所以 $a = 6$ 或 $a = -6$。
当 $a = 6$ 时，点P的坐标为 $(6,3)$，代入直线 $y = -x + b$，得 $3 = -6 + b$，解得 $b = 9$；
当 $a = -6$ 时，点P的坐标为 $(-6,3)$，代入直线 $y = -x + b$，得 $3 = 6 + b$，解得 $b = -3$。
综上，$a = 6, b = 9$ 或 $a = -6, b = -3$。