9. 定义新运算“△”:$a△b= \sqrt{ab+1}$,则$3△(4△6)= $。

4

$4△6=\sqrt{4×6+1}=\sqrt{25}=5$
$3△5=\sqrt{3×5+1}=\sqrt{16}=4$
4

10. 若$y= \sqrt{3-x}+\sqrt{x-3}+8$成立,则$\sqrt[3]{y}$的值是。

2

要使$y = \sqrt{3 - x} + \sqrt{x - 3} + 8$成立，需满足：
$\begin{cases}3 - x \geq 0 \\x - 3 \geq 0\end{cases}$
解得$x = 3$。
将$x = 3$代入$y$，得$y = 0 + 0 + 8 = 8$。
则$\sqrt[3]{y} = \sqrt[3]{8} = 2$。
2

11. 设$\sqrt{10}$的整数部分为x,小数部分为y,则$x-y= $。

$6 - \sqrt{10}$

因为$9 ＜ 10 ＜ 16$，所以$\sqrt{9} ＜ \sqrt{10} ＜ \sqrt{16}$，即$3 ＜ \sqrt{10} ＜ 4$，则$\sqrt{10}$的整数部分$x = 3$，小数部分$y=\sqrt{10}-3$，所以$x - y=3-(\sqrt{10}-3)=3-\sqrt{10}+3=6-\sqrt{10}$。

12. 对于两个不相等的实数a,b,定义一种新的运算如下:$a*b= \frac{\sqrt{a+b}}{a-b}(a+b＞0)$,如:$3*2= \frac{\sqrt{3+2}}{3-2}= \sqrt{5}$,那么$6*(5*4)= $。

解题步骤：
1. 先计算内层运算 $5*4$：
$ 5*4 = \frac{\sqrt{5+4}}{5-4} = \frac{\sqrt{9}}{1} = 3 $
2. 再计算外层运算 $6*(5*4) = 6*3$：
$ 6*3 = \frac{\sqrt{6+3}}{6-3} = \frac{\sqrt{9}}{3} = \frac{3}{3} = 1 $
最终结论：
$1$

13. 先阅读理解,再解决问题。
$1^{3}= 1^{2}$
$1^{3}+2^{3}= 9= 3^{2}$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}= 36= 6^{2}$
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}= 100= 10^{2}$
...
(1)$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}=$=。
(2)求$1^{3}+2^{3}+3^{3}+... +n^{3}$。(用含n的式子表示)

(1)
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}$
$= (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)^{2}$
$= 21^{2}$
$= 441$
答案：$441$；$21^{2}$
(2)
$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}$
$=(1 + 2 + 3+\cdots + n)^{2}$
因为$1 + 2 + 3+\cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}$
所以$1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}=(\frac{n(n + 1)}{2})^{2}=\frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}$
答案：$\frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{4}$