8. 在锐角三角形ABC中,若$\sin A= \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\angle B= 75^{\circ}$,求$\cos C$的值.

在锐角三角形ABC中，
∵$\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且∠A为锐角，
∴∠A=60°。
∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=75°，
∴∠C=180° - ∠A - ∠B=180° - 60° - 75°=45°。
∴$\cos C=\cos 45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
$\frac{\sqrt{2}}{2}$

9. 在$\triangle ABC$中,AD是边BC上的高,$AD= 2$,$AC= 2\sqrt{2}$,$AB= 4$,求$\angle BAC$的大小.

在△ABC中，AD是边BC上的高，∴∠ADB=∠ADC=90°。
在Rt△ABD中，AD=2，AB=4，
cos∠BAD=AD/AB=2/4=1/2，
∴∠BAD=60°。
在Rt△ACD中，AD=2，AC=2√2，
cos∠CAD=AD/AC=2/(2√2)=√2/2，
∴∠CAD=45°。
∵AD在边BC上，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°+45°=105°。
∠BAC=105°

10. 要求$\tan30^{\circ}$的值,可构造如图所示的直角三角形进行计算:作$Rt\triangle ABC$,使$\angle C= 90^{\circ}$,斜边$AB= 2$,直角边$AC= 1$,那么$BC= \sqrt{3}$,$\angle ABC= 30^{\circ}$,$\tan30^{\circ}=\frac{AC}{BC}= \frac{1}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{3}}{3}$.在此图的基础上通过添加适当的辅助线,可求出$\tan15^{\circ}$的值,请你写出添加辅助线的方法,并求出$\tan15^{\circ}$的值.

tan15°=2-√3。

在$Rt\triangle ABC$中，延长$CB$至点$D$，使$BD=AB$，连接$AD$。
$\because AB=2$，$BD=AB$，$\therefore BD=2$。
$\because \angle ABC=30^{\circ}$，$BD=AB$，$\therefore \angle D=\angle BAD$，$\angle ABC=\angle D+\angle BAD=2\angle D$，$\angle D=15^{\circ}$。
$\because BC=\sqrt{3}$，$\therefore CD=BC+BD=\sqrt{3}+2$。
$\because AC=1$，$\angle C=90^{\circ}$，$\therefore \tan15^{\circ}=\tan D=\frac{AC}{CD}=\frac{1}{\sqrt{3}+2}=2-\sqrt{3}$。
$\tan15^{\circ}=2-\sqrt{3}$。