7. 一个三角形钢筋框架的三边长分别为20 cm,50 cm,60 cm,现要再做一个与其相似的三角形钢筋框架,而只有长是30 cm和50 cm的两根钢筋,要求以其中一根为边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,你认为有几种不同的截法？写出你的设计方案,并说明理由。

解：有两种不同的截法。
情况一：以30cm为一边，从50cm钢筋上截两段。
原三角形三边比为20:50:60=2:5:6。设截下两段长为x、y（x＜y，x+y≤50）。
1. 30cm对应原三角形50cm（中间边）：
比例系数k=30/50=0.6，
则另两边为20×0.6=12cm，60×0.6=36cm。
x=12，y=36，x+y=48≤50，满足条件。
2. 30cm对应原三角形60cm（最长边）：
比例系数k=30/60=0.5，
则另两边为20×0.5=10cm，50×0.5=25cm。
x=10，y=25，x+y=35≤50，满足条件。
情况二：以50cm为一边，从30cm钢筋上截两段。
设截下两段长为m、n（m＜n，m+n≤30）。
50cm对应原三角形20cm：k=50/20=2.5，另两边为50×2.5=125cm、60×2.5=150cm，m+n=275＞30，舍去；
50cm对应原三角形50cm：k=1，另两边为20cm、60cm，m+n=80＞30，舍去；
50cm对应原三角形60cm：k=50/60=5/6，另两边≈16.67cm、41.67cm，m+n≈58.33＞30，舍去。
结论：两种截法。
方案1：从50cm钢筋上截12cm和36cm，新三角形三边为12cm、30cm、36cm；
方案2：从50cm钢筋上截10cm和25cm，新三角形三边为10cm、25cm、30cm。

8. 如图,在四边形ABCD中,AC,BD相交于点F,点E在BD上,且$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{ED}= \frac{AC}{AD}$。求证：
(1)∠1= ∠2；
(2)△ABE∽△ACD。

(1)在△ABC和△AED中，
∵$\frac{AB}{AE}= \frac{BC}{ED}= \frac{AC}{AD}$，
∴△ABC∽△AED(三边成比例的两个三角形相似)，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC - ∠EAC=∠EAD - ∠EAC，即∠BAE=∠CAD，
∴∠1=∠2。
(2)∵$\frac{AB}{AE}= \frac{AC}{AD}$，
∴$\frac{AB}{AC}= \frac{AE}{AD}$，
又∵∠1=∠2，即∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似)。

9. 如图是一个3×8的网格图,每个小正方形的边长均为1,三个顶点都在小正方形的顶点上的三角形叫作格点三角形,图中格点△ABC的三边长分别为$\sqrt{2}$,2,$\sqrt{10}$,请在网格图中画出三个与△ABC相似但不全等的格点三角形。要求：
① 其中有一个与△ABC的相似比为$\sqrt{2}$；
② 其中有一个面积最大,并求出这个最大面积。

1. 首先求$\triangle ABC$的面积：
已知$\triangle ABC$的三边长分别为$a = \sqrt{2}$，$b = 2$，$c=\sqrt{10}$，根据勾股定理逆定理$a^{2}+b^{2}=(\sqrt{2})^{2}+2^{2}=2 + 4=6\neq(\sqrt{10})^{2}$，再利用面积公式$S=\frac{1}{2}×$底$×$高。$\triangle ABC$中，以$AB=\sqrt{2}$（$AB$是直角边为$1$的等腰直角三角形的斜边），$AB$边上的高$h = \sqrt{2}$，则$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$。
2. 然后画相似比为$\sqrt{2}$的三角形：
原三角形三边$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，相似比为$\sqrt{2}$，则新三角形三边为$\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$，$2×\sqrt{2}$，$\sqrt{10}×\sqrt{2}=2\sqrt{5}$。
例如：在网格中，构造三边分别为$2$（水平或垂直方向两个单位长度），$2\sqrt{2}$（直角边为$2$的等腰直角三角形的斜边），$2\sqrt{5}$（直角边为$2$和$4$的直角三角形的斜边）的格点三角形。
3. 接着求面积最大的三角形：
设相似比为$k$，根据相似三角形面积比$S_{1}:S_{2}=k^{2}$。
因为原三角形三边$\sqrt{2}$，$2$，$\sqrt{10}$，要使格点三角形面积最大，考虑网格的边长限制。
观察网格，当相似比$k = 2$时，新三角形三边为$2\sqrt{2}$，$4$，$2\sqrt{10}$。
原三角形面积$S_{\triangle ABC}=1$，根据相似三角形面积公式$S = k^{2}S_{\triangle ABC}$（$S$为相似三角形面积，$S_{\triangle ABC}$为原三角形面积）。
当$k = 2$时，$S=4×1 = 4$。
所以，面积最大的三角形面积为$4$。（画图部分根据上述三边长度的构造方法在网格中画出三个符合要求的三角形即可）。