13. 如图,在矩形AOBC中,点A的坐标是$(-2,1)$,点C的纵坐标是4,则B,C两点的坐标分别是.

(3/2,3)，(-1/2,4)

过点A作AD⊥x轴于D，过点B作BE⊥x轴于E。∵∠AOB=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，又∠AOD+∠OAD=90°，∴∠BOE=∠OAD，故Rt△AOD∽Rt△OBE。由A(-2,1)得AD=1，OD=2，设OE=x，BE=y，则AD/OE=OD/BE，即1/x=2/y，∴y=2x，即B(x,2x)。∵四边形AOBC为矩形，∴AC=OB且AC//OB，C(m,4)，向量AC=(m+2,3)，向量OB=(x,2x)，∴m+2=x，3=2x，解得x=3/2，y=3，m=-1/2。∴B(3/2,3)，C(-1/2,4)。

14. 如图,在网格中,每个小正方形的边长均为1.若使$\triangle ABC\backsim \triangle PBD$,则点P在点______处.(填"$P_{1}$""$P_{2}$""$P_{3}$"或"$P_{4}$")

P₄

首先确定△ABC的边长，设网格中小正方形边长为1，通过坐标计算得AB=1，AC=2，BC=√5，三边比例为1:2:√5。再确定点B(0,0)、D(2,4)，则BD=√[(2-0)²+(4-0)²]=2√5。要使△ABC∽△PBD，需三边对应成比例，即AB/PB=AC/PD=BC/BD=1/2。由此得PB=2，PD=4。在网格中，点P(2,0)满足PB=2（距B水平距离2），PD=√[(2-2)²+(4-0)²]=4，故P为P₄。

15. 如图,在边长为9的正三角形ABC中,$BD= 3$,$\angle ADE= 60°$,则AE的长为.

7

∵$\bigtriangleup ABC$是正三角形，
$\therefore\angle B=\angle C=60°$，$AB=BC = CA = 9$。
∵$\angle ADE = 60°$，
$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，$\angle ADC=\angle ADE+\angle CDE$，
$\therefore\angle BAD=\angle CDE$，
又∵$\angle B=\angle C$，
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$\triangle ABD\sim\triangle DCE$。
∵$BC = 9$，$BD = 3$，
$\therefore CD=9 - 3=6$。
设$CE=x$，则$AB:CD = BD:CE$，即$9:6 = 3:x$，
$9x=18$，
解得$x = 2$。
$\therefore AE=AC - CE=9 - 2=7$。

16. 如图,点E,F,G分别在正方形ABCD的边AB,BC,AD上,$AF\perp EG$.若$AB= 5$,$AE= DG= 1$,则BF的长为.

5/4

设BF=x，正方形ABCD中，AB=5，∠ABF=∠BAD=90°。
∵AE=1，∴EB=4；∵DG=1，∴AG=AD-DG=4。
∵AF⊥EG，设交点为O，则∠AOE=90°，∴∠AEG+∠OAE=90°。
又∠BAF+∠OAE=90°，∴∠AEG=∠BAF。
在△EAG和△FBA中，∠EAG=∠FBA=90°，∠AEG=∠BAF，
∴△EAG∽△FBA（AA）。
∴AE/BF=AG/BA，即1/x=4/5，解得x=5/4。

17. 如图,$AB= 3$,$BD\perp AB$,$AC\perp AB$,且$AC= 1$.E是线段AB上一动点,过点E作CE的垂线,交射线BD于点F,则BF长的最大值是.

$\frac{9}{4}$（或填2.25）

设$AE = x$，$BF = y$，则$BE = 3 - x$。
由于$CE\perp EF$，$AC\perp AB$，$BD\perp AB$，
所以$\angle A = \angle B = 90°$，$\angle CEF = 90°$。
根据角的和性质，有$\angle AEC + \angle FEB = 90°$。
又因为$\angle AEC + \angle ACE = 90°$，所以$\angle ACE = \angle FEB$。
根据三角形的相似性质，得到$\triangle ACE \sim \triangle BEF$。
由相似三角形的对应边成比例，有$\frac{AC}{BE} = \frac{AE}{BF}$，即$\frac{1}{3 - x} = \frac{x}{y}$。
整理得$y = -x^2 + 3x$，进一步整理为$y = -\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4}$。
由于$y$的最大值为$\frac{9}{4}$，即$BF$的最大值为$\frac{9}{4}$的对应边长，根据题意和相似比例，得出$BF$的最大长度为$\frac{9}{4}$（在$x=\frac{3}{2}$时取到）。