2. 如图,在△ABC 中,BC= 12,AD 是边 BC 上的高,且 AD= 10,P,N 分别是边 AB,AC 上的点,Q,M 是边 BC 上的点,连接 PQ,MN,PN,PN 交 AD 于点 E,且四边形 PQMN 是矩形.
(1)若 PQ:PN= 1:2,求 PQ,PN 的长;
(2)求矩形 PQMN 面积的最大值.

(1)$PQ=\frac{15}{4}$，$PN=\frac{15}{2}$；(2)30。

(1)设$PQ=x$，$PN=y$，
∵四边形$PQMN$是矩形，∴$PQ\perp BC$，$PN// BC$，$PQ=MN=x$，$PN=QM=y$。
∵$AD\perp BC$，∴$AE=AD - ED=10 - x$（$E$为$PN$与$AD$交点，$ED=PQ=x$）。
∵$PN// BC$，∴$\triangle APN\sim\triangle ABC$，相似比为$\frac{AE}{AD}=\frac{PN}{BC}$，即$\frac{10 - x}{10}=\frac{y}{12}$。
∵$PQ:PN=1:2$，∴$x:y=1:2$，即$y=2x$。
代入$\frac{10 - x}{10}=\frac{2x}{12}$，解得$x=\frac{15}{4}$，$y=\frac{15}{2}$。
∴$PQ=\frac{15}{4}$，$PN=\frac{15}{2}$。
(2)设$PQ=x$，则由(1)知$PN=\frac{6}{5}(10 - x)$。
矩形面积$S=PQ\cdot PN=x\cdot\frac{6}{5}(10 - x)=-\frac{6}{5}x^2 + 12x$。
∵$-\frac{6}{5}＜0$，∴当$x=-\frac{12}{2×(-\frac{6}{5})}=5$时，$S$最大。
此时$S=-\frac{6}{5}×5^2 + 12×5=30$。

3. 如图①,长、宽均为 3,高为 8 的长方体容器放置在水平桌面上,里面盛有水,水面高为 6,绕底面一棱进行旋转倾斜后,水面恰好触到容器口边缘,图②是此时的示意图,求图②中的水面高度.

4

解：
1. 计算水的体积：
原长方体容器长、宽均为3，水面高6，水的体积为：
$ V = 3 × 3 × 6 = 54 $。
2. 分析倾斜后水的体积不变：
容器绕底面一棱旋转倾斜后，水的体积仍为54。设倾斜后水面高度为$ h $（水面到桌面的垂直距离，即水面最低点高度）。
3. 截面面积与体积关系：
过旋转轴的截面为矩形（长8，宽3），面积为$ 8 × 3 = 24 $。水的体积等于截面中水的面积乘以旋转轴长度（3），故截面中水的面积为：
$ S_{水} = \frac{54}{3} = 18 $。
4. 无水部分面积与形状：
截面中无水部分面积为$ 24 - 18 = 6 $，其形状为三角形。设截面中水面与容器侧面交点为$ M(0, h) $和$ N(3, 8) $（触到容器口边缘），直线$ MN $为水面线。
5. 求解水面高度：
直线$ MN $过点$ (0, h) $和$ (3, 8) $，方程为$ y = \frac{8 - h}{3}x + h $。截面中水的面积为梯形$ ABNM $的面积：
$ S_{水} = \frac{(h + 8) × 3}{2} = 18 $。
解得：$ h + 8 = 12 \Rightarrow h = 4 $。