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2. 先化简,再求值：$\dfrac{a^{3} - 4ab^{2}}{a^{3} - 4a^{2}b + 4ab^{2}}$,其中$a = 2$,$b = -\dfrac{1}{2}$。
答案
$\dfrac{1}{3}$
解析
化简过程：
1. 分子分解因式：
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a + 2b)(a - 2b)$
2. 分母分解因式：
$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$
3. 约分：
$\dfrac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^2} = \dfrac{a + 2b}{a - 2b}$ （$a \neq 0$，$a \neq 2b$）
代入求值：
当 $a = 2$，$b = -\dfrac{1}{2}$ 时，
原式 $= \dfrac{2 + 2 × (-\dfrac{1}{2})}{2 - 2 × (-\dfrac{1}{2})} = \dfrac{2 - 1}{2 + 1} = \dfrac{1}{3}$
1. 分子分解因式：
$a^3 - 4ab^2 = a(a^2 - 4b^2) = a(a + 2b)(a - 2b)$
2. 分母分解因式：
$a^3 - 4a^2b + 4ab^2 = a(a^2 - 4ab + 4b^2) = a(a - 2b)^2$
3. 约分：
$\dfrac{a(a + 2b)(a - 2b)}{a(a - 2b)^2} = \dfrac{a + 2b}{a - 2b}$ （$a \neq 0$，$a \neq 2b$）
代入求值：
当 $a = 2$，$b = -\dfrac{1}{2}$ 时，
原式 $= \dfrac{2 + 2 × (-\dfrac{1}{2})}{2 - 2 × (-\dfrac{1}{2})} = \dfrac{2 - 1}{2 + 1} = \dfrac{1}{3}$
【典型例题 2】(2024·黑龙江牡丹江中考)先化简,再求值：$\dfrac{2x - 6}{x} ÷ (x - \dfrac{6x - 9}{x})$,并从$-1$,$0$,$1$,$2$,$3$中选一个合适的数代入求值。
答案
思路导引 先计算括号内的减法,再计算除法,然后根据分式有意义的条件选取合适的数代入计算求值。
【解】$\dfrac{2x - 6}{x} ÷ (x - \dfrac{6x - 9}{x})$
$= \dfrac{2x - 6}{x} ÷ (\dfrac{x^{2}}{x} - \dfrac{6x - 9}{x})$
$= \dfrac{2x - 6}{x} ÷ \dfrac{x^{2} - 6x + 9}{x}$
$= \dfrac{2(x - 3)}{x} \cdot \dfrac{x}{(x - 3)^{2}}$
$= \dfrac{2}{x - 3}$。
$\because x \neq 0且x \neq 3$,
$\therefore x可取的值为-1或1或2$。
当$x = -1$时,原式$= \dfrac{2}{-1 - 3} = -\dfrac{1}{2}$。
(或当$x = 1$时,原式$= \dfrac{2}{1 - 3} = -1$；或当$x = 2$时,原式$= \dfrac{2}{2 - 3} = -2$)
【解】$\dfrac{2x - 6}{x} ÷ (x - \dfrac{6x - 9}{x})$
$= \dfrac{2x - 6}{x} ÷ (\dfrac{x^{2}}{x} - \dfrac{6x - 9}{x})$
$= \dfrac{2x - 6}{x} ÷ \dfrac{x^{2} - 6x + 9}{x}$
$= \dfrac{2(x - 3)}{x} \cdot \dfrac{x}{(x - 3)^{2}}$
$= \dfrac{2}{x - 3}$。
$\because x \neq 0且x \neq 3$,
$\therefore x可取的值为-1或1或2$。
当$x = -1$时,原式$= \dfrac{2}{-1 - 3} = -\dfrac{1}{2}$。
(或当$x = 1$时,原式$= \dfrac{2}{1 - 3} = -1$；或当$x = 2$时,原式$= \dfrac{2}{2 - 3} = -2$)
3. 计算$(-\dfrac{2x}{3y})^{-2} \cdot (\dfrac{2x}{3y})^{3}$的结果是(
A.$\dfrac{x}{3y}$
B.$-\dfrac{x}{3y}$
C.$\dfrac{2x}{3y}$
D.$-\dfrac{2x}{3y}$
C
)A.$\dfrac{x}{3y}$
B.$-\dfrac{x}{3y}$
C.$\dfrac{2x}{3y}$
D.$-\dfrac{2x}{3y}$
答案
C
解析
$(-\dfrac{2x}{3y})^{-2} \cdot (\dfrac{2x}{3y})^{3} = (\dfrac{2x}{3y})^{-2} \cdot (\dfrac{2x}{3y})^{3} = (\dfrac{2x}{3y})^{-2 + 3} = (\dfrac{2x}{3y})^{1} = \dfrac{2x}{3y}$
4. 先化简,再求值：$(\dfrac{x}{xy + y^{2}} - \dfrac{y}{x^{2} + xy}) ÷ (1 - \dfrac{x^{2} + y^{2}}{2xy})$。其中$x = (\dfrac{1}{3})^{-1} - (2026 - \dfrac{3}{2})^{0}$,$y = \dfrac{3}{2}$。
答案
$-4$
解析
化简过程：
1. 化简第一个括号：
$\dfrac{x}{xy + y^2} - \dfrac{y}{x^2 + xy} = \dfrac{x}{y(x + y)} - \dfrac{y}{x(x + y)} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy(x + y)} = \dfrac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \dfrac{x - y}{xy}$。
2. 化简第二个括号：
$1 - \dfrac{x^2 + y^2}{2xy} = \dfrac{2xy - x^2 - y^2}{2xy} = \dfrac{-(x - y)^2}{2xy}$。
3. 整体化简：
$\dfrac{x - y}{xy} ÷ \dfrac{-(x - y)^2}{2xy} = \dfrac{x - y}{xy} \cdot \dfrac{2xy}{-(x - y)^2} = \dfrac{2}{-(x - y)} = \dfrac{2}{y - x}$。
计算$x$的值：
$x = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} - \left(2026 - \dfrac{3}{2}\right)^0 = 3 - 1 = 2$。
代入求值：
将$x = 2$，$y = \dfrac{3}{2}$代入$\dfrac{2}{y - x}$，得$\dfrac{2}{\dfrac{3}{2} - 2} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$。
1. 化简第一个括号：
$\dfrac{x}{xy + y^2} - \dfrac{y}{x^2 + xy} = \dfrac{x}{y(x + y)} - \dfrac{y}{x(x + y)} = \dfrac{x^2 - y^2}{xy(x + y)} = \dfrac{(x - y)(x + y)}{xy(x + y)} = \dfrac{x - y}{xy}$。
2. 化简第二个括号：
$1 - \dfrac{x^2 + y^2}{2xy} = \dfrac{2xy - x^2 - y^2}{2xy} = \dfrac{-(x - y)^2}{2xy}$。
3. 整体化简：
$\dfrac{x - y}{xy} ÷ \dfrac{-(x - y)^2}{2xy} = \dfrac{x - y}{xy} \cdot \dfrac{2xy}{-(x - y)^2} = \dfrac{2}{-(x - y)} = \dfrac{2}{y - x}$。
计算$x$的值：
$x = \left(\dfrac{1}{3}\right)^{-1} - \left(2026 - \dfrac{3}{2}\right)^0 = 3 - 1 = 2$。
代入求值：
将$x = 2$，$y = \dfrac{3}{2}$代入$\dfrac{2}{y - x}$，得$\dfrac{2}{\dfrac{3}{2} - 2} = \dfrac{2}{-\dfrac{1}{2}} = -4$。
