1. 边长为3的正方形的对角线长()。
A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数

D

设正方形的边长为$a$，对角线长为$d$。
由勾股定理得，$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$。
已知$a = 3$，则$d = 3\sqrt{2}$。
$\sqrt{2}$是无理数，所以$3\sqrt{2}$不是有理数。
D

2. 面积为6的长方形中,长是宽的3倍,则宽()。
A.是整数
B.是分数
C.是有理数
D.不是有理数

D

设宽为$x$，则长为$3x$。
长方形面积公式为：长×宽，即$3x \cdot x = 6$。
$3x^2 = 6$
$x^2 = 2$
$x = \sqrt{2}$（$x＞0$）
$\sqrt{2}$不是有理数。
D

3. 若$m^{2}= 4$,则$m$有理数；若$m^{2}= 11$,则$m$有理数。(填“是”或“不是”)

是 不是

4. 如图是由16个边长为1的小正方形拼成的,连接这些小正方形的若干个顶点,得到5条线段$CA$,$CB$,$CD$,$CE$,$CF$,其中长度不是有理数的有条。

3

由题意，每个小正方形边长为1，根据勾股定理计算各线段长度：
$CA$：竖直方向4个单位，长度为$4$（有理数）；
$CB$：水平1个单位，竖直4个单位，长度为$\sqrt{1^2 + 4^2} = \sqrt{17}$（无理数）；
$CD$：水平3个单位，竖直4个单位，长度为$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$（有理数）；
$CE$：水平2个单位，竖直3个单位，长度为$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$（无理数）；
$CF$：水平2个单位，竖直2个单位，长度为$\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$（无理数）。
长度不是有理数的线段有$CB$、$CE$、$CF$，共3条。
3

5. 如图,在$\triangle ABC$中,$AC = b$,$CD = 5$,$BC边上的高AD$可能是整数吗？可能是分数吗？可能不是有理数吗？

AD可能是整数，也可能是分数，也可能不是有理数。

在$\triangle ADC$中，$AD$是$BC$边上的高，所以$\triangle ADC$是直角三角形，根据勾股定理可得$AD = \sqrt{AC^2 - CD^2} = \sqrt{b^2 - 25}$。
当$b = \sqrt{25 + k^2}$（$k$为整数且$k ＞ 0$）时，$AD = k$，是整数。例如，$b = \sqrt{25 + 12^2} = 13$时，$AD = 12$。
当$b^2 - 25$是分数的平方时，$AD$是分数。例如，$b^2 = 25 + (\frac{3}{4})^2 = \frac{1609}{16}$，$b = \frac{\sqrt{1609}}{4}$时，$AD = \frac{3}{4}$。
当$b^2 - 25$不是完全平方数时，$AD = \sqrt{b^2 - 25}$不是有理数。例如，$b = 6$时，$AD = \sqrt{36 - 25} = \sqrt{11}$，不是有理数。
综上，AD可能是整数，可能是分数，也可能不是有理数。

6. 如图,在棱长为4 cm的正方体箱子中,想放入一根细长的玻璃棒,这根玻璃棒的最大长度是整数吗？是分数吗？说明理由。

解：这根玻璃棒的最大长度不是整数，也不是分数。理由如下：这根玻璃棒的最大长度等于AC的长度。在Rt△BCD中，由勾股定理，得$BC^{2}=BD^{2}+CD^{2}=4^{2}+4^{2}=32$。在Rt△ABC中，由勾股定理，得$AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=4^{2}+32=48$。因为不存在平方等于48的整数或分数，所以AC的长度不是整数，也不是分数。故这根玻璃棒的最大长度不是整数，也不是分数。