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【例题】已知反比例函数的图象经过点(-2,4),则它的表达式是
【思路点拨】首先设反比例函数的表达式为$ y= \frac{k}{x} $,其中k等于图象上某一点的横、纵坐标的积,然后把点(-2,4)代入$ y= \frac{k}{x} $即可求出k.
【解答】
$y = -\frac{8}{x}$
.【思路点拨】首先设反比例函数的表达式为$ y= \frac{k}{x} $,其中k等于图象上某一点的横、纵坐标的积,然后把点(-2,4)代入$ y= \frac{k}{x} $即可求出k.
【解答】
答案
$y = -\frac{8}{x}$
解析
设反比例函数的表达式为$y = \frac{k}{x}$（$k \neq 0$）。
因为函数图象经过点$(-2, 4)$，所以将$x = -2$，$y = 4$代入表达式可得：$4 = \frac{k}{-2}$。
解得$k = -2 × 4 = -8$。
故该反比例函数的表达式是$y = -\frac{8}{x}$。
因为函数图象经过点$(-2, 4)$，所以将$x = -2$，$y = 4$代入表达式可得：$4 = \frac{k}{-2}$。
解得$k = -2 × 4 = -8$。
故该反比例函数的表达式是$y = -\frac{8}{x}$。
1. 下列函数中,是反比例函数的是(
A.$ y= 2x+1 $
B.$ y= \frac{1}{x^2} $
C.$ y= \frac{1}{5x} $
D.$ \frac{x}{y}= 2 $
C
)A.$ y= 2x+1 $
B.$ y= \frac{1}{x^2} $
C.$ y= \frac{1}{5x} $
D.$ \frac{x}{y}= 2 $
答案
C
解析
A. $y = 2x + 1$ 是一次函数，不是反比例函数；
B. $y = \frac{1}{x^2}$ 的形式不符合反比例函数的标准形式 $y = \frac{k}{x}$，因为 $x$ 的指数是 2，不是 1；
C. $y = \frac{1}{5x}$ 可以写成 $y = \frac{\frac{1}{5}}{x}$，符合反比例函数的标准形式 $y = \frac{k}{x}$，其中 $k = \frac{1}{5}$；
D. $\frac{x}{y} = 2$ 可以改写为 $y = \frac{x}{2}$，这是正比例函数，不是反比例函数。
B. $y = \frac{1}{x^2}$ 的形式不符合反比例函数的标准形式 $y = \frac{k}{x}$，因为 $x$ 的指数是 2，不是 1；
C. $y = \frac{1}{5x}$ 可以写成 $y = \frac{\frac{1}{5}}{x}$，符合反比例函数的标准形式 $y = \frac{k}{x}$，其中 $k = \frac{1}{5}$；
D. $\frac{x}{y} = 2$ 可以改写为 $y = \frac{x}{2}$，这是正比例函数，不是反比例函数。
2. 如果函数$ y= (m-1)x^{m^2-2} $是反比例函数,则m的值为(
A.1
B.-1
C.±1
D.$ \pm\sqrt{3} $
B
)A.1
B.-1
C.±1
D.$ \pm\sqrt{3} $
答案
B
解析
根据反比例函数的定义，函数 $ y = kx^n $ 是反比例函数当且仅当 $ n = -1 $ 且 $ k \neq 0 $。
题目给出的函数是 $ y = (m-1)x^{m^2-2} $，要使其成为反比例函数，需要满足以下两个条件：
1. $ m^2 - 2 = -1 $
2. $ m - 1 \neq 0 $
首先解第一个方程 $ m^2 - 2 = -1 $：
$m^2 - 2 = -1 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$
然后验证第二个条件 $ m - 1 \neq 0 $：
当 $ m = 1 $ 时，$ m - 1 = 0 $，不满足条件；
当 $ m = -1 $ 时，$ m - 1 = -2 \neq 0 $，满足条件。
因此，$ m $ 的值为 $ -1 $。
题目给出的函数是 $ y = (m-1)x^{m^2-2} $，要使其成为反比例函数，需要满足以下两个条件：
1. $ m^2 - 2 = -1 $
2. $ m - 1 \neq 0 $
首先解第一个方程 $ m^2 - 2 = -1 $：
$m^2 - 2 = -1 \implies m^2 = 1 \implies m = \pm 1$
然后验证第二个条件 $ m - 1 \neq 0 $：
当 $ m = 1 $ 时，$ m - 1 = 0 $，不满足条件；
当 $ m = -1 $ 时，$ m - 1 = -2 \neq 0 $，满足条件。
因此，$ m $ 的值为 $ -1 $。
3. 已知反比例函数$ y= \frac{k}{x} $,当$ x= -\frac{1}{2} $时,$ y= -6 $,则k=
3
.答案
3
解析
已知反比例函数$y = \frac{k}{x}$，当$x = -\frac{1}{2}$时，$y = -6$，将$x$和$y$的值代入函数表达式可得：$-6=\frac{k}{-\frac{1}{2}}$，即$k = (-6)×(-\frac{1}{2}) = 3$。
4. 反比例函数$ y= \frac{8}{x} 经过点 (-\frac{1}{2},a) $,则a=
-16
.答案
1. 已知反比例函数$y = \frac{8}{x}$经过点$(-\frac{1}{2},a)$。
2. 将点$(-\frac{1}{2},a)$代入函数$y = \frac{8}{x}$中，得到：
$a = \frac{8}{-\frac{1}{2}}$
3. 进行计算，得：
$a = -16$
故答案为：$-16$。
2. 将点$(-\frac{1}{2},a)$代入函数$y = \frac{8}{x}$中，得到：
$a = \frac{8}{-\frac{1}{2}}$
3. 进行计算，得：
$a = -16$
故答案为：$-16$。
5. 函数$ y= \frac{k-1}{x^{k^2}} $是反比例函数,则k的值是
-1
,此函数的表达式为$ y = -\frac{2}{x} $
.答案
因为函数$ y= \frac{k-1}{x^{k^2}} $是反比例函数，根据反比例函数的定义$ y = \frac{m}{x} $（$ m $为常数，$ m \neq 0 $，$ x \neq 0 $），可得：
$ k^2 = 1 $且$ k - 1 \neq 0 $。
由$ k^2 = 1 $，解得$ k = \pm 1 $。
又因为$ k - 1 \neq 0 $，所以$ k \neq 1 $，故$ k = -1 $。
将$ k = -1 $代入函数表达式，得$ y = \frac{-1 - 1}{x} = \frac{-2}{x} $。
-1；$ y = -\frac{2}{x} $
$ k^2 = 1 $且$ k - 1 \neq 0 $。
由$ k^2 = 1 $，解得$ k = \pm 1 $。
又因为$ k - 1 \neq 0 $，所以$ k \neq 1 $，故$ k = -1 $。
将$ k = -1 $代入函数表达式，得$ y = \frac{-1 - 1}{x} = \frac{-2}{x} $。
-1；$ y = -\frac{2}{x} $
6. 已知y是x的反比例函数,且当x= 3时y= 4,求:
(1)y与x的函数关系式;
(2)当y= 3时对应的x值.
(1)y与x的函数关系式;
(2)当y= 3时对应的x值.
答案
(1) $y = \frac{12}{x}$
(2) $x = 4$
(2) $x = 4$
解析
(1) 设反比例函数为 $y = \frac{k}{x}$（其中 $k \neq 0$）。
根据题目条件，当 $x = 3$ 时，$y = 4$。
代入得：$4 = \frac{k}{3}$，
解得 $k = 12$。
因此，$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = \frac{12}{x}$。
(2) 已知 $y = 3$，代入 $y = \frac{12}{x}$ 得：
$3 = \frac{12}{x}$，
解得 $x = 4$。
根据题目条件，当 $x = 3$ 时，$y = 4$。
代入得：$4 = \frac{k}{3}$，
解得 $k = 12$。
因此，$y$ 与 $x$ 的函数关系式为 $y = \frac{12}{x}$。
(2) 已知 $y = 3$，代入 $y = \frac{12}{x}$ 得：
$3 = \frac{12}{x}$，
解得 $x = 4$。
