【典型例题】填空：(1)$\frac{3c}{2ab}= \frac{15ac}{(\quad\quad)}$；
(2)$\frac{3xy}{x^{2}-2x}= \frac{(\quad\quad)}{x - 2}$；(3)$\frac{3ab}{a + b}= \frac{6a^{2}b}{(\quad\quad)}$；
(4)$\frac{m - n}{m + n}= \frac{(\quad\quad)}{m^{2}-n^{2}}(m\neq n)$.
思路导引 紧扣分式的基本性质进行观察、分析,通过比较先确定等式两边分式的分子、分母发生了怎样的变化,再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子.
【解析】(1)分子与分母都乘$5a$,得$\frac{3c}{2ab}= \frac{15ac}{10a^{2}b}$,所以括号中应填$10a^{2}b$.
(2)分子与分母都除以$x$,得$\frac{3xy}{x^{2}-2x}= \frac{3y}{x - 2}$,所以括号中应填$3y$.
(3)分子与分母都乘$2a$,得$\frac{3ab}{a + b}= \frac{6a^{2}b}{2a^{2}+2ab}$,所以括号中应填$2a^{2}+2ab$.
(4)分子与分母都乘$(m - n)$,得$\frac{m - n}{m + n}= \frac{m^{2}-2mn + n^{2}}{m^{2}-n^{2}}$,所以括号中应填$m^{2}-2mn + n^{2}$.
【答案】(1)$10a^{2}b$(2)$3y$(3)$2a^{2}+2ab$(4)$m^{2}-2mn + n^{2}$
规律方法 1. 解决有关分式恒等变形的填空题时,一般先从分子或分母的已知项入手,观察变化方式,再通过作相应的变形得到未知项.当分式的分子与分母是多项式时,应先分解因式,再运用分式的基本性质进行化简与变形.
2. 分式的基本性质是分式变形的理论依据,注意分子和分母要同时进行“乘法”(或“除法”)运算,且乘(或除以)的整式必须是同一个不等于$0$的整式.

(1)$10a^{2}b$；(2)$3y$；(3)$2a^{2}+2ab$；(4)$m^{2}-2mn + n^{2}$

(1)观察分子变化，$3c$变为$15ac$，乘以$5a$，则分母$2ab$也应乘以$5a$，得到$10a^{2}b$，所以括号中应填$10a^{2}b$。
(2)
先对分母进行因式分解，$x^{2} - 2x = x(x - 2)$，分子与分母都除以$x$，得到$\frac{3y}{x - 2}$，所以括号中应填$3y$。
(3)观察分子变化，$3ab$变为$6a^{2}b$，乘以$2a$，则分母$a + b$也应乘以$2a$，得到$2a^{2} + 2ab$，所以括号中应填$2a^{2} + 2ab$。
(4)因为$m^{2}-n^{2}=(m + n)(m - n)$，分子$m - n$乘以$m - n$得到$m^{2}-2mn + n^{2}$，分母$m + n$乘以$m - n$得到$m^{2}-n^{2}$，所以括号中应填$m^{2}-2mn + n^{2}$。

不改变分式的值,把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数：
(1)$\frac{0.01x - 0.5y}{0.3x + 0.04y}$；(2)$\frac{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b}{\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b}$.

(1)
为将分子分母各项系数化为整数，根据分式的基本性质，给分式$\frac{0.01x - 0.5y}{0.3x + 0.04y}$的分子分母同时乘以$100$，得到：
$\frac{(0.01x - 0.5y)×100}{(0.3x + 0.04y)×100}=\frac{x - 50y}{30x + 4y}$
(2)
为将分子分母各项系数化为整数，根据分式的基本性质，给分式$\frac{\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b}{\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b}$的分子分母同时乘以$12$，得到：
$\frac{(\frac{1}{2}a + \frac{1}{3}b)×12}{(\frac{1}{4}a - \frac{1}{3}b)×12}=\frac{6a + 4b}{3a - 4b}$