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1. 若 $ y $ 与 $ x $ 成反比例，且当 $ x = 3 $ 时，$ y = 7 $，则比例系数是（
A.3
B.7
C.21
D.20
C
）A.3
B.7
C.21
D.20
答案
C
解析
设反比例函数的关系式为 $y = \frac{k}{x}$（$k$ 为常数，$k\neq0$）。
已知当 $x = 3$ 时，$y = 7$，将其代入关系式可得：$7=\frac{k}{3}$，解得 $k = 21$，所以比例系数是 $21$。
已知当 $x = 3$ 时，$y = 7$，将其代入关系式可得：$7=\frac{k}{3}$，解得 $k = 21$，所以比例系数是 $21$。
2. 在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle A $，$ \angle C $ 都是锐角，$ \sin A = \frac{\sqrt{3}}{2} $，$ \tan C = \sqrt{3} $，则 $ \triangle ABC $ 的形状是（
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.无法确定
C
）A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.无法确定
答案
C
解析
已知 $\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $\angle A$ 为锐角，故 $\angle A = 60°$。
又 $\tan C = \sqrt{3}$，且 $\angle C$ 为锐角，故 $\angle C = 60°$。
根据三角形内角和定理，$\angle B = 180° - 60° - 60° = 60°$。
因此，$\triangle ABC$ 的三个角均为 $60°$，为等边三角形。
3. 如图，在平面直角坐标系中，点 $ A $ 在函数 $ y = \frac{3}{x}(x ＞ 0) $ 的图象上，点 $ B $ 在函数 $ y = \frac{k}{x}(x ＜ 0) $ 的图象上，$ AB \perp y $ 轴于点 $ C $.若 $ AC = 3BC $，则 $ k $ 的值为（
A.$ -1 $
B.1
C.$ -2 $
D.2
A
）A.$ -1 $
B.1
C.$ -2 $
D.2
答案
A
解析
设点$C$的坐标为$(0, m)$，因为$AB \perp y$轴，所以点$A$、$B$的纵坐标均为$m$。
点$A$在$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$上，令$y = m$，则$x = \frac{3}{m}$，故$A\left(\frac{3}{m}, m\right)$。
点$B$在$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$上，令$y = m$，则$x = \frac{k}{m}$，故$B\left(\frac{k}{m}, m\right)$。
$AC$的长度为点$A$的横坐标（因$x ＞ 0$），即$AC = \frac{3}{m}$；
$BC$的长度为点$B$横坐标的绝对值（因$x ＜ 0$），即$BC = \left|\frac{k}{m}\right| = -\frac{k}{m}$（$k ＜ 0$）。
由$AC = 3BC$，得$\frac{3}{m} = 3\left(-\frac{k}{m}\right)$，化简得$3 = -3k$，解得$k = -1$。
点$A$在$y = \frac{3}{x}(x ＞ 0)$上，令$y = m$，则$x = \frac{3}{m}$，故$A\left(\frac{3}{m}, m\right)$。
点$B$在$y = \frac{k}{x}(x ＜ 0)$上，令$y = m$，则$x = \frac{k}{m}$，故$B\left(\frac{k}{m}, m\right)$。
$AC$的长度为点$A$的横坐标（因$x ＞ 0$），即$AC = \frac{3}{m}$；
$BC$的长度为点$B$横坐标的绝对值（因$x ＜ 0$），即$BC = \left|\frac{k}{m}\right| = -\frac{k}{m}$（$k ＜ 0$）。
由$AC = 3BC$，得$\frac{3}{m} = 3\left(-\frac{k}{m}\right)$，化简得$3 = -3k$，解得$k = -1$。
4. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ \angle DAB = 60^{\circ} $，$ \angle B = \angle D = 90^{\circ} $，$ BC = 1 $，$ CD = 2 $，则对角线 $ AC $ 的长为（
A.$ \sqrt{21} $
B.$ \frac{\sqrt{21}}{3} $
C.$ \frac{2\sqrt{21}}{3} $
D.$ \frac{5\sqrt{21}}{3} $
C
）A.$ \sqrt{21} $
B.$ \frac{\sqrt{21}}{3} $
C.$ \frac{2\sqrt{21}}{3} $
D.$ \frac{5\sqrt{21}}{3} $
答案
C
解析
延长AD、BC交于点E，在Rt△ABE中，∠DAB=60°，∠B=90°，则∠E=30°。设AB=x，可得AE=2x，BE=√3x。在Rt△CDE中，∠D=90°，∠E=30°，CD=2，故CE=2CD=4，DE=√(CE²-CD²)=2√3。由BE=BC+CE得√3x=1+4，解得x=5√3/3。在Rt△ABC中，AC=√(AB²+BC²)=√[(5√3/3)²+1²]=√(75/9 +1)=√(28/3)=2√21/3。
5. 由化学知识可知，用 $ pH $ 值表示溶液酸碱性的强弱程度，当 $ pH ＞ 7 $ 时溶液呈碱性，当 $ pH ＜ 7 $ 时溶液呈酸性.若将给定的 $ NaOH $ 溶液加水稀释，那么在下列图象中，能大致反映 $ NaOH $ 溶液的 $ pH $ 值与所加水的体积 $ V $ 之间对应关系的是（
D
）答案
D
解析
$NaOH$溶液为碱性溶液，其$pH$值大于7，用水稀释时，碱性减弱，$pH$值逐渐减小，但始终大于7，不会小于7，所以图象应从大于7开始，随着水的加入，$pH$值逐渐减小，无限接近7，但不会等于7或小于7。
A图$pH$值从小于7开始，不符合$NaOH$溶液初始为碱性的情况；
B图$pH$值从大于7开始，随着$V$的增加，$pH$值逐渐减小并小于7，不符合$pH$值始终大于7的情况；
C图$pH$值从小于7开始逐渐增大，不符合$NaOH$溶液初始为碱性的情况；
D图$pH$值从大于7开始，随着$V$的增加，$pH$值逐渐减小并无限接近7，符合题意。
A图$pH$值从小于7开始，不符合$NaOH$溶液初始为碱性的情况；
B图$pH$值从大于7开始，随着$V$的增加，$pH$值逐渐减小并小于7，不符合$pH$值始终大于7的情况；
C图$pH$值从小于7开始逐渐增大，不符合$NaOH$溶液初始为碱性的情况；
D图$pH$值从大于7开始，随着$V$的增加，$pH$值逐渐减小并无限接近7，符合题意。
