23. (本题12分)
已知$\triangle ABC$是等边三角形,点$P$是平面内一点,且四边形$PBCD$为平行四边形,将线段$CD绕点C顺时针旋转60^{\circ}$,得到线段$CE$。
(1)如图甲,当$P为AC$的中点时,求证：$EC\perp PD$。
(2)如图乙,当$P为\triangle ABC$内任一点时,连接$PA$,$PE$,$AE$,试判断$\triangle PAE$的形状,并证明你的结论。

(1)见解析；(2)△PAE是等边三角形，证明见解析。

(1)证明：设等边△ABC边长为2a，P为AC中点，AP=PC=a，AC=BC=2a。
∵四边形PBCD为平行四边形，∴PD=BC=2a，PD//BC，CD=PB，CD//PB。
∵△ABC为等边三角形，P为AC中点，∴BP⊥AC，BP=√3a，∠PBC=30°，则CD=PB=√3a。
CD绕点C顺时针旋转60°得CE，∴CD=CE=√3a，∠DCE=60°，△DCE为等边三角形，CE=√3a。
建立坐标系：C(0,0)，B(2a,0)，A(a,√3a)，P(a/2,√3a/2)。
∵PD//BC，PD=2a，∴D(-3a/2,√3a/2)。
向量CD=(-3a/2,√3a/2)，顺时针旋转60°得CE：E(0,√3a)。
PD向量=(-2a,0)，EC向量=(0,-√3a)，PD·EC=0，∴EC⊥PD。
(2)△PAE为等边三角形。
证明：∵△ABC为等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°。
四边形PBCD为平行四边形，∴PD=BC=AC，CD=PB，CD//PB。
CD绕C顺时针旋转60°得CE，∴CD=CE，∠DCE=60°，△DCE为等边三角形，CE=CD=DE，∠CDE=60°。
∵PD//BC，∴∠PDC=∠BCD。
∠ACB=∠ACD+∠BCD=60°，∠DCE=∠BCE+∠BCD=60°，∴∠ACD=∠BCE。
在△ACD和△BCE中，AC=BC，∠ACD=∠BCE，CD=CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)，∴AD=BE，∠CAD=∠CBE。
∵PB=CE，PB//CD，CD=CE，∴∠PBE=60°，△PBE为等边三角形，PE=PB=CD=CE。
在△APC和△EPB中，AP=EP，∠CAP=∠BEP，AC=EB，∴△APC≌△EPB(SAS)，∴PA=PE，∠APE=60°。
∴△PAE为等边三角形。