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14. 如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量.小明测得$AB=8\ \mathrm{m}$，$AD=6\ \mathrm{m}$，$CD=24\ \mathrm{m}$，$BC=26\ \mathrm{m}$，又已知$∠ A=90°$.求这块土地的面积.
答案
解：连接BD。
∵ ∠A=90°，AB=8 m，AD=6 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD² = AD² + AB² = 6² + 8² = 100，
∴ BD = 10 m。
在△BCD中，BD=10 m，CD=24 m，BC=26 m，
∵ BD² + CD² = 10² + 24² = 676，BC² = 26² = 676，
∴ BD² + CD² = BC²，
∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD
= $\frac{1}{2}$×AD×AB + $\frac{1}{2}$×BD×CD
= $\frac{1}{2}$×6×8 + $\frac{1}{2}$×10×24
= 24 + 120
= 144 (m²)
答：这块土地的面积为144 m²。
∵ ∠A=90°，AB=8 m，AD=6 m，
∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理得：
BD² = AD² + AB² = 6² + 8² = 100，
∴ BD = 10 m。
在△BCD中，BD=10 m，CD=24 m，BC=26 m，
∵ BD² + CD² = 10² + 24² = 676，BC² = 26² = 676，
∴ BD² + CD² = BC²，
∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC=90°。
∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD
= $\frac{1}{2}$×AD×AB + $\frac{1}{2}$×BD×CD
= $\frac{1}{2}$×6×8 + $\frac{1}{2}$×10×24
= 24 + 120
= 144 (m²)
答：这块土地的面积为144 m²。
15.满足下列条件的三角形中不是直角三角形的是（）
A.三个内角度数之比为$1:2:3$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三个内角度数之比为$3:4:5$
A.三个内角度数之比为$1:2:3$
B.三边长的平方之比为$1:2:3$
C.三边长之比为$3:4:5$
D.三个内角度数之比为$3:4:5$
答案
D
解析
逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形内角和为180°，三个内角度数比1:2:3，三个角分别为$180°×\frac{1}{6}=30°$，$180°×\frac{2}{6}=60°$，$180°×\frac{3}{6}=90°$，是直角三角形。
2. 选项B：设三边长的平方分别为$k$、$2k$、$3k$，满足$k+2k=3k$，即两边平方和等于第三边平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
3. 选项C：设三边长为$3k$、$4k$、$5k$，满足$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
4. 选项D：三个内角度数比3:4:5，三个角分别为$180°×\frac{3}{12}=45°$，$180°×\frac{4}{12}=60°$，$180°×\frac{5}{12}=75°$，没有直角，不是直角三角形。
1. 选项A：三角形内角和为180°，三个内角度数比1:2:3，三个角分别为$180°×\frac{1}{6}=30°$，$180°×\frac{2}{6}=60°$，$180°×\frac{3}{6}=90°$，是直角三角形。
2. 选项B：设三边长的平方分别为$k$、$2k$、$3k$，满足$k+2k=3k$，即两边平方和等于第三边平方，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
3. 选项C：设三边长为$3k$、$4k$、$5k$，满足$(3k)^2+(4k)^2=(5k)^2$，符合勾股定理逆定理，是直角三角形。
4. 选项D：三个内角度数比3:4:5，三个角分别为$180°×\frac{3}{12}=45°$，$180°×\frac{4}{12}=60°$，$180°×\frac{5}{12}=75°$，没有直角，不是直角三角形。
16.一个三角形的三边长分别是15 cm,20 cm,25 cm,则这个三角形最长边上的高为（）
A.12 cm
B.10 cm
C.$\frac{25}{2}$ cm
D.$\frac{21}{2}$ cm
A.12 cm
B.10 cm
C.$\frac{25}{2}$ cm
D.$\frac{21}{2}$ cm
答案
A
解析
1. 先判断三角形类型：计算三边平方，$15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 25^2$，满足勾股定理，因此该三角形是直角三角形，最长边25cm为斜边。
2. 用面积法求最长边上的高：设最长边上的高为$h$，直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，即$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，解得$h=12\ \mathrm{cm}$。
2. 用面积法求最长边上的高：设最长边上的高为$h$，直角三角形面积可表示为两直角边乘积的一半，也可表示为斜边乘斜边上高的一半，即$\frac{1}{2} × 15 × 20 = \frac{1}{2} × 25 × h$，解得$h=12\ \mathrm{cm}$。
17. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,BC=AC$,点$P$是$△ ABC$内的一点.若$AP=3,BP=1,CP=2$,则$∠ BPC$的度数是（）
A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
A.$105°$
B.$120°$
C.$135°$
D.$150°$
答案
C
解析
将△ACP绕点C顺时针旋转90°，使AC与BC重合，得到△BCQ，连接PQ。
1. 由旋转性质得：CQ=CP=2，BQ=AP=3，∠PCQ=90°，故△PCQ为等腰直角三角形，可得PQ=√(CP²+CQ²)=2√2，∠CPQ=45°。
2. 在△BPQ中，BP=1，PQ=2√2，BQ=3，计算得：BP² + PQ² =1²+(2√2)²=9=3²=BQ²，由勾股定理逆定理可知△BPQ是直角三角形，∠BPQ=90°。
3. 因此∠BPC=∠CPQ+∠BPQ=45°+90°=135°。
1. 由旋转性质得：CQ=CP=2，BQ=AP=3，∠PCQ=90°，故△PCQ为等腰直角三角形，可得PQ=√(CP²+CQ²)=2√2，∠CPQ=45°。
2. 在△BPQ中，BP=1，PQ=2√2，BQ=3，计算得：BP² + PQ² =1²+(2√2)²=9=3²=BQ²，由勾股定理逆定理可知△BPQ是直角三角形，∠BPQ=90°。
3. 因此∠BPC=∠CPQ+∠BPQ=45°+90°=135°。
18. 在$△ ABC$中，$AB=5$，$AC=13$，$BC$边上的中线$AD=6$，则$△ ABD$的面积是（）
A.12
B.15
C.18
D.20
A.12
B.15
C.18
D.20
答案
B
解析
延长AD至点E，使DE=AD=6，连接BE。
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），得BE=AC=13。
在△ABE中，AB=5，AE=AD+DE=12，
∵$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = BE^2$，
∴△ABE是直角三角形，∠BAE=90°。
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 5 × 6 = 15$。
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD。
在△ADC和△EDB中：
AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，
∴△ADC≌△EDB（SAS），得BE=AC=13。
在△ABE中，AB=5，AE=AD+DE=12，
∵$AB^2 + AE^2 = 5^2 + 12^2 = 169 = 13^2 = BE^2$，
∴△ABE是直角三角形，∠BAE=90°。
∴$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × AD = \frac{1}{2} × 5 × 6 = 15$。
