登录
2. 用四只完全相同的滑轮和两根相同的绳子组成如图所示的甲、乙两个滑轮组，将重450 N的货物匀速吊起2 m高。每只滑轮重50 N，绳子自由端的拉力大小分别为$F_1$和$F_2$，若不计绳重和摩擦，则$F_1$（选填“大于”、“等于”或“小于”）$F_2$，甲滑轮组的机械效率为。
答案
大于；$90\%$
解析
【分析】
要解决该问题，需先确定甲、乙滑轮组中承担物重的绳子段数，再利用不计绳重和摩擦时的拉力公式计算拉力大小并比较；计算机械效率时，根据有用功和总功的关系推导公式代入数据求解。
【解析】
1. 确定承担物重的绳子段数：甲滑轮组中，动滑轮上的绳子段数$n_1=2$；乙滑轮组中，动滑轮上的绳子段数$n_2=3$。
2. 计算拉力大小：不计绳重和摩擦，拉力公式为$F=\frac{G_{物}+G_{动}}{n}$，其中$G_{物}=450N$，$G_{动}=50N$。
$F_1=\frac{450N+50N}{2}=250N$；
$F_2=\frac{450N+50N}{3}\approx166.7N$；
因此$F_1$大于$F_2$。
3. 计算甲滑轮组的机械效率：机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}×100\%=\frac{G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}×100\%=\frac{G_{物}}{G_{物}+G_{动}}×100\%$，代入数据得：
$\eta=\frac{450N}{450N+50N}×100\%=90\%$。
【答案】
大于；90%
【知识点】
滑轮组拉力计算、机械效率计算
【点评】
本题考查滑轮组拉力和机械效率的基础计算，核心是正确判断承担物重的绳子段数，公式应用简单，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需先确定甲、乙滑轮组中承担物重的绳子段数，再利用不计绳重和摩擦时的拉力公式计算拉力大小并比较；计算机械效率时，根据有用功和总功的关系推导公式代入数据求解。
【解析】
1. 确定承担物重的绳子段数：甲滑轮组中，动滑轮上的绳子段数$n_1=2$；乙滑轮组中，动滑轮上的绳子段数$n_2=3$。
2. 计算拉力大小：不计绳重和摩擦，拉力公式为$F=\frac{G_{物}+G_{动}}{n}$，其中$G_{物}=450N$，$G_{动}=50N$。
$F_1=\frac{450N+50N}{2}=250N$；
$F_2=\frac{450N+50N}{3}\approx166.7N$；
因此$F_1$大于$F_2$。
3. 计算甲滑轮组的机械效率：机械效率$\eta=\frac{W_{有用}}{W_{总}}×100\%=\frac{G_{物}h}{G_{物}h+G_{动}h}×100\%=\frac{G_{物}}{G_{物}+G_{动}}×100\%$，代入数据得：
$\eta=\frac{450N}{450N+50N}×100\%=90\%$。
【答案】
大于；90%
【知识点】
滑轮组拉力计算、机械效率计算
【点评】
本题考查滑轮组拉力和机械效率的基础计算，核心是正确判断承担物重的绳子段数，公式应用简单，属于常规题型。
【难度系数】
0.5
三、解答题。
底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$的烧杯中装有适量水，当金属块浸没在水中且静止时，如图甲所示，弹簧测力计的示数$F_1=3.4\ \mathrm{N}$。当金属块总体积的$\frac{1}{4}$露出水面且静止时，如图乙所示，水对杯底的压强减小了$50\ \mathrm{Pa}$。（$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$）求：
(1)金属块的体积$V_{\mathrm{金}}$是多大？
(2)当金属块总体积的$\frac{1}{4}$露出水面且静止时，弹簧测力计的示数$F_2$是多大？
(3)金属块的密度$\rho_{\mathrm{金}}$是多少？
底面积为$100\ \mathrm{cm}^2$的烧杯中装有适量水，当金属块浸没在水中且静止时，如图甲所示，弹簧测力计的示数$F_1=3.4\ \mathrm{N}$。当金属块总体积的$\frac{1}{4}$露出水面且静止时，如图乙所示，水对杯底的压强减小了$50\ \mathrm{Pa}$。（$g$取$10\ \mathrm{N/kg}$）求：
(1)金属块的体积$V_{\mathrm{金}}$是多大？
(2)当金属块总体积的$\frac{1}{4}$露出水面且静止时，弹簧测力计的示数$F_2$是多大？
(3)金属块的密度$\rho_{\mathrm{金}}$是多少？
答案
解：
(1) 由Δp = ρ水gΔh 得水面下降的高度：
Δh = $\frac{Δp}{ρ_水g}$ = $\frac{50\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}$ = 0.005 m
减少的排开水的体积：
ΔV排 = SΔh = $100×10^{-4}\ \mathrm{m^2}×0.005\ \mathrm{m}$ = $5×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$
由题意可知，金属块$\frac{1}{4}$的体积等于减少的排开水的体积，即$\frac{V_金}{4}=ΔV_排$：
$V_金 = 4ΔV_排 = 4×5×10^{-5}\ \mathrm{m^3} = 2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
(2) 金属块完全浸没时受到的浮力：
$F_{浮1} = ρ_水gV_金 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×2×10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 2\ \mathrm{N}$
金属块的重力：
$G = F_1 + F_{浮1} = 3.4\ \mathrm{N} + 2\ \mathrm{N} = 5.4\ \mathrm{N}$
当金属块$\frac{1}{4}$体积露出水面时，排开水的体积$V_{排2}=\frac{3}{4}V_金$，此时浮力：
$F_{浮2} = ρ_水gV_{排2} = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×\frac{3}{4}×2×10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 1.5\ \mathrm{N}$
此时弹簧测力计的示数：
$F_2 = G - F_{浮2} = 5.4\ \mathrm{N} - 1.5\ \mathrm{N} = 3.9\ \mathrm{N}$
(3) 金属块的质量：
$m = \frac{G}{g} = \frac{5.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.54\ \mathrm{kg}$
金属块的密度：
$ρ_金 = \frac{m}{V_金} = \frac{0.54\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：(1) 金属块的体积为$2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；(2) 弹簧测力计的示数$F_2$为3.9 N；(3) 金属块的密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
(1) 由Δp = ρ水gΔh 得水面下降的高度：
Δh = $\frac{Δp}{ρ_水g}$ = $\frac{50\ \mathrm{Pa}}{1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}}$ = 0.005 m
减少的排开水的体积：
ΔV排 = SΔh = $100×10^{-4}\ \mathrm{m^2}×0.005\ \mathrm{m}$ = $5×10^{-5}\ \mathrm{m^3}$
由题意可知，金属块$\frac{1}{4}$的体积等于减少的排开水的体积，即$\frac{V_金}{4}=ΔV_排$：
$V_金 = 4ΔV_排 = 4×5×10^{-5}\ \mathrm{m^3} = 2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$
(2) 金属块完全浸没时受到的浮力：
$F_{浮1} = ρ_水gV_金 = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×2×10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 2\ \mathrm{N}$
金属块的重力：
$G = F_1 + F_{浮1} = 3.4\ \mathrm{N} + 2\ \mathrm{N} = 5.4\ \mathrm{N}$
当金属块$\frac{1}{4}$体积露出水面时，排开水的体积$V_{排2}=\frac{3}{4}V_金$，此时浮力：
$F_{浮2} = ρ_水gV_{排2} = 1.0×10^3\ \mathrm{kg/m^3}×10\ \mathrm{N/kg}×\frac{3}{4}×2×10^{-4}\ \mathrm{m^3} = 1.5\ \mathrm{N}$
此时弹簧测力计的示数：
$F_2 = G - F_{浮2} = 5.4\ \mathrm{N} - 1.5\ \mathrm{N} = 3.9\ \mathrm{N}$
(3) 金属块的质量：
$m = \frac{G}{g} = \frac{5.4\ \mathrm{N}}{10\ \mathrm{N/kg}} = 0.54\ \mathrm{kg}$
金属块的密度：
$ρ_金 = \frac{m}{V_金} = \frac{0.54\ \mathrm{kg}}{2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}} = 2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$
答：(1) 金属块的体积为$2×10^{-4}\ \mathrm{m^3}$；(2) 弹簧测力计的示数$F_2$为3.9 N；(3) 金属块的密度为$2.7×10^3\ \mathrm{kg/m^3}$。
解析
【分析】
解题思路：首先利用水对杯底减小的压强，结合液体压强公式Δp=ρ水gΔh，求出水面下降的高度Δh；再根据烧杯底面积S，算出减少的排开水的体积ΔV排，而ΔV排等于金属块体积的1/4，由此求出金属块的总体积V金。接着，利用阿基米德原理算出金属块完全浸没时的浮力F浮1，再通过称重法G=F1+F浮1求出金属块的重力G。当金属块1/4体积露出水面时，排开体积为3/4V金，再次用阿基米德原理算出此时浮力F浮2，最后由F2=G-F浮2得到弹簧测力计的示数。最后根据G=mg算出金属块质量，结合密度公式ρ=m/V求出金属块密度。
【解析】
解：
(1) 由Δp=ρ水gΔh，得水面下降的高度：
Δh = Δp/(ρ水g) = 50Pa/(1.0×10³kg/m³×10N/kg) = 0.005m
减少的排开水的体积：
ΔV排 = SΔh = 100×10⁻⁴m² × 0.005m = 5×10⁻⁵m³
金属块的总体积：
V金 = 4ΔV排 = 4×5×10⁻⁵m³ = 2×10⁻⁴m³
(2) 金属块完全浸没时的浮力：
F浮1 = ρ水gV金 = 1.0×10³kg/m³×10N/kg×2×10⁻⁴m³ = 2N
金属块的重力：
G = F1 + F浮1 = 3.4N + 2N = 5.4N
金属块1/4体积露出时，排开体积V排2=(3/4)V金，此时浮力：
F浮2 = ρ水gV排2 = 1.0×10³kg/m³×10N/kg×(3/4)×2×10⁻⁴m³ = 1.5N
弹簧测力计的示数：
F2 = G - F浮2 = 5.4N - 1.5N = 3.9N
(3) 金属块的质量：
m = G/g = 5.4N / 10N/kg = 0.54kg
金属块的密度：
ρ金 = m/V金 = 0.54kg / 2×10⁻⁴m³ = 2.7×10³kg/m³
【答案】
(1) 金属块的体积为2×10⁻⁴m³；(2) 弹簧测力计的示数F2为3.9N；(3) 金属块的密度为2.7×10³kg/m³。
【知识点】
液体压强与深度的关系、阿基米德原理、密度的计算
【点评】
本题综合考查液体压强、浮力及密度的计算，关键是理解金属块露出体积等于烧杯水面下降对应的排开体积，需熟练运用公式变形，属于中等难度的浮力综合题。
【难度系数】
0.5
解题思路：首先利用水对杯底减小的压强，结合液体压强公式Δp=ρ水gΔh，求出水面下降的高度Δh；再根据烧杯底面积S，算出减少的排开水的体积ΔV排，而ΔV排等于金属块体积的1/4，由此求出金属块的总体积V金。接着，利用阿基米德原理算出金属块完全浸没时的浮力F浮1，再通过称重法G=F1+F浮1求出金属块的重力G。当金属块1/4体积露出水面时，排开体积为3/4V金，再次用阿基米德原理算出此时浮力F浮2，最后由F2=G-F浮2得到弹簧测力计的示数。最后根据G=mg算出金属块质量，结合密度公式ρ=m/V求出金属块密度。
【解析】
解：
(1) 由Δp=ρ水gΔh，得水面下降的高度：
Δh = Δp/(ρ水g) = 50Pa/(1.0×10³kg/m³×10N/kg) = 0.005m
减少的排开水的体积：
ΔV排 = SΔh = 100×10⁻⁴m² × 0.005m = 5×10⁻⁵m³
金属块的总体积：
V金 = 4ΔV排 = 4×5×10⁻⁵m³ = 2×10⁻⁴m³
(2) 金属块完全浸没时的浮力：
F浮1 = ρ水gV金 = 1.0×10³kg/m³×10N/kg×2×10⁻⁴m³ = 2N
金属块的重力：
G = F1 + F浮1 = 3.4N + 2N = 5.4N
金属块1/4体积露出时，排开体积V排2=(3/4)V金，此时浮力：
F浮2 = ρ水gV排2 = 1.0×10³kg/m³×10N/kg×(3/4)×2×10⁻⁴m³ = 1.5N
弹簧测力计的示数：
F2 = G - F浮2 = 5.4N - 1.5N = 3.9N
(3) 金属块的质量：
m = G/g = 5.4N / 10N/kg = 0.54kg
金属块的密度：
ρ金 = m/V金 = 0.54kg / 2×10⁻⁴m³ = 2.7×10³kg/m³
【答案】
(1) 金属块的体积为2×10⁻⁴m³；(2) 弹簧测力计的示数F2为3.9N；(3) 金属块的密度为2.7×10³kg/m³。
【知识点】
液体压强与深度的关系、阿基米德原理、密度的计算
【点评】
本题综合考查液体压强、浮力及密度的计算，关键是理解金属块露出体积等于烧杯水面下降对应的排开体积，需熟练运用公式变形，属于中等难度的浮力综合题。
【难度系数】
0.5
