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12 (2025 南京秦淮期末)已知方程组$\begin{cases}2x + y = 5,\\x + 2y = 4,\end{cases}$则$x^2 - y^2 =$ ______ .
答案
12. 3
13 (2025 扬州宝应月考)已知甲、乙两人共同解方程组$\begin{cases}ax + by = 2①,\\cx - 3y = 4②,\end{cases}$甲将①中的$b$看成了它的相反数，解得$\begin{cases}x = 1,\\y = - 1,\end{cases}$乙抄错②中的$c$，解得$\begin{cases}x = 2,\\y = 4,\end{cases}$则$a - b + c =$ ______ .
答案
13. 5
14 (2025 泰州兴化期末)已知关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1x + b_1y = c_1,\\a_2x + b_2y = c_2\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 6,\\y = 1,\end{cases}$则关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}a_1(x + 3) + b_1y - 2b_1 = c_1,\\a_2(x + 3) + b_2y - 2b_2 = c_2\end{cases}$的解为 ______ .
答案
14. $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 3 \end{cases} $
15 解方程组：
(1)$\begin{cases}x + 2y = 5,\\2x + y = - 2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x + 1}{5} - \frac{y - 1}{2} = - 1,\\x + y = 2.\end{cases}$
(1)$\begin{cases}x + 2y = 5,\\2x + y = - 2;\end{cases}$
(2)$\begin{cases}\frac{x + 1}{5} - \frac{y - 1}{2} = - 1,\\x + y = 2.\end{cases}$
答案
15. 解:(1) $ \begin{cases} x + 2y = 5①, \\ 2x + y = - 2②, \end{cases} $
由②×2,得 $ 4x + 2y = - 4 $③,
由③ - ①,得 $ 3x = - 9 $,解得 $ x = - 3 $,
将 $ x = - 3 $ 代入①,得 $ - 3 + 2y = 5 $,解得 $ y = 4 $,
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = - 3, \\ y = 4. \end{cases} $
(2) 原方程组可化为 $ \begin{cases} 2x - 5y = - 17①, \\ x + y = 2②, \end{cases} $
由②×5,得 $ 5x + 5y = 10 $③,
由① + ③,得 $ 7x = - 7 $,解得 $ x = - 1 $,
将 $ x = - 1 $ 代入②,得 $ - 1 + y = 2 $,解得 $ y = 3 $,
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = - 1, \\ y = 3. \end{cases} $
由②×2,得 $ 4x + 2y = - 4 $③,
由③ - ①,得 $ 3x = - 9 $,解得 $ x = - 3 $,
将 $ x = - 3 $ 代入①,得 $ - 3 + 2y = 5 $,解得 $ y = 4 $,
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = - 3, \\ y = 4. \end{cases} $
(2) 原方程组可化为 $ \begin{cases} 2x - 5y = - 17①, \\ x + y = 2②, \end{cases} $
由②×5,得 $ 5x + 5y = 10 $③,
由① + ③,得 $ 7x = - 7 $,解得 $ x = - 1 $,
将 $ x = - 1 $ 代入②,得 $ - 1 + y = 2 $,解得 $ y = 3 $,
所以原方程组的解为 $ \begin{cases} x = - 1, \\ y = 3. \end{cases} $
16 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}x + 2y = 1 - a,\\x - y = 2a - 5.\end{cases}$
(1)当$x = y$时，求$a$的值；
(2)求代数式$2^{2x}·4^y$的值；
(3)若$x^y = 1$，求$a$的值.
(1)当$x = y$时，求$a$的值；
(2)求代数式$2^{2x}·4^y$的值；
(3)若$x^y = 1$，求$a$的值.
答案
16. 解:(1) 将 $ x = y $ 代入方程组,得 $ \begin{cases} 3y = 1 - a, \\ 2a - 5 = 0, \end{cases} $
解得 $ a = \frac{5}{2} $.
(2) $ \begin{cases} x + 2y = 1 - a①, \\ x - y = 2a - 5②, \end{cases} $
由① - ②,得 $ 3y = 6 - 3a $,即 $ y = 2 - a $,
将 $ y = 2 - a $ 代入①,得 $ x = a - 3 $,
所以 $ x + y = a - 3 + 2 - a = - 1 $,
所以 $ 2^{2x} · 4^{y} = 2^{2x} · 2^{2y} = 2^{2(x + y)} = 2^{- 2} = \frac{1}{4} $.
(3) 由(2)及 $ x^{y} = 1 $,得 $ (a - 3)^{2 - a} = 1 $.
当 $ 2 - a = 0 $,即 $ a = 2 $ 时,$ a - 3 = - 1 $,等式成立;
当 $ a - 3 = 1 $,即 $ a = 4 $ 时,等式成立.
综上,$ a $ 的值为 2 或 4.
解得 $ a = \frac{5}{2} $.
(2) $ \begin{cases} x + 2y = 1 - a①, \\ x - y = 2a - 5②, \end{cases} $
由① - ②,得 $ 3y = 6 - 3a $,即 $ y = 2 - a $,
将 $ y = 2 - a $ 代入①,得 $ x = a - 3 $,
所以 $ x + y = a - 3 + 2 - a = - 1 $,
所以 $ 2^{2x} · 4^{y} = 2^{2x} · 2^{2y} = 2^{2(x + y)} = 2^{- 2} = \frac{1}{4} $.
(3) 由(2)及 $ x^{y} = 1 $,得 $ (a - 3)^{2 - a} = 1 $.
当 $ 2 - a = 0 $,即 $ a = 2 $ 时,$ a - 3 = - 1 $,等式成立;
当 $ a - 3 = 1 $,即 $ a = 4 $ 时,等式成立.
综上,$ a $ 的值为 2 或 4.
17 已知关于$x$，$y$的方程组$\begin{cases}2x - y = 5,\\2ax + by = 8\end{cases}$和$\begin{cases}x + y = 4,\\ax + 3by = 9\end{cases}$有相同的解.求：
(1)这两个方程组的相同解；
(2)$a$，$b$的值.
(1)这两个方程组的相同解；
(2)$a$，$b$的值.
答案
17. 解:(1) 根据题意,得 $ \begin{cases} 2x - y = 5①, \\ x + y = 4②, \end{cases} $
由① + ②,得 $ 3x = 9 $,解得 $ x = 3 $,
将 $ x = 3 $ 代入②,得 $ y = 1 $,
所以这两个方程组的相同解是 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases} $
(2) 将 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases} $ 代入到 $ 2ax + by = 8 $,$ ax + 3by = 9 $ 中,
得 $ \begin{cases} 6a + b = 8, \\ 3a + 3b = 9, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 6a + b = 8①, \\ a + b = 3②, \end{cases} $
由① - ②,得 $ 5a = 5 $,解得 $ a = 1 $,
将 $ a = 1 $ 代入②,得 $ b = 2 $,
所以 $ a = 1 $,$ b = 2 $.
由① + ②,得 $ 3x = 9 $,解得 $ x = 3 $,
将 $ x = 3 $ 代入②,得 $ y = 1 $,
所以这两个方程组的相同解是 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1. \end{cases} $
(2) 将 $ \begin{cases} x = 3, \\ y = 1 \end{cases} $ 代入到 $ 2ax + by = 8 $,$ ax + 3by = 9 $ 中,
得 $ \begin{cases} 6a + b = 8, \\ 3a + 3b = 9, \end{cases} $ 即 $ \begin{cases} 6a + b = 8①, \\ a + b = 3②, \end{cases} $
由① - ②,得 $ 5a = 5 $,解得 $ a = 1 $,
将 $ a = 1 $ 代入②,得 $ b = 2 $,
所以 $ a = 1 $,$ b = 2 $.
