牛顿与方程
牛顿是历史上最伟大的科学家之一,这位大科学家很喜欢用方程解题.牛顿说:"要想解一个有关数目的问题,或者有关量的抽象关系的问题,只要把问题里的日常用语译成代数用语就成了."
实际上,列方程的过程就是把日常用语译成代数用语的过程.比如"父子两人年龄的和是58岁,7年后,父亲的年龄是儿子年龄的2倍,求父亲和儿子的年龄."设父亲的年龄为x岁,则儿子的年龄为(58-x)岁,7年后,儿子的年龄为[(58-x)+7]岁,父亲的年龄为(x+7)岁,而父亲的年龄是儿子年龄的2倍,由此可列出等式$x+7=2[(58-x)+7]$.
这个等式,就是代数用语,翻译成代数用语后就可以解答用日常用语提出来的问题,这个过程就是解方程.
牛顿常常出一些方程问题,下面来看其中的两道,这些题出自牛顿的名著《一般算术》.要说明的是,为便于理解,我们把长度和质量的单位都已改为现行通用单位.
邮递员A和B相距59千米,相向而行,A 2小时走了7千米,B 3小时走了8千米,而B比A晚出发1小时.A遇到B时走了多少千米?
设A遇到B时走了$(x+\frac{7}{2})$千米,其中$\frac{7}{2}$千米是A比B早出发1小时所走的路程,
此时B走了$59-(x+\frac{7}{2})=(55+\frac{1}{2}-x)$千米,
两人相向而行,相遇时,A走x千米与B走$(55+\frac{1}{2}-x)$千米所用时间一样,由此可列出等式
$x÷\frac{7}{2}=(55+\frac{1}{2}-x)÷\frac{8}{3}$.
整理、计算,得$x=31.5$.
所以A遇到B时走了35千米.
以上是牛顿出题我们来解,下面来看看牛顿自己解的一道题,对我们很有启发.
一位商人每年要花掉100元维持全家生计,然后将自己剩余的财产增加$\frac{1}{3}$,经过3年,商人发现他的财产增加了1倍.问商人最初有多少财产?
牛顿一开始就进行了从日常用语到代数用语的翻译工作.牛顿说:为了解这个问题,应澄清问题中隐含的所有假定:

于是问题归结为解方程
$\frac{64x-14800}{27}=2x$.
解得$x=1480$,即商人最初的财产为1480元.
从牛顿解方程的过程中,我们可以看到他是怎样一步一步把一个比较困难的问题,分步译成代数式,最后列出方程来的.
任务:在学习了方程知识后,你能举例说说方程的优越性吗?

方程的优越性主要有：①顺向思维，思路清晰，将实际问题转化为代数形式，降低思维难度；②简化复杂数量关系的表达，避免算术方法中繁琐的逆向推导；③适用范围广，可解决算术方法难以处理的复杂问题。例如上述年龄问题，用方程解题时，设父亲现在年龄为x岁，儿子为(58-x)岁，根据7年后的等量关系列方程x+7=2[(58-x)+7]，直接求解即可，过程简单；而算术方法需先算7年后年龄和，再根据倍数关系推导，步骤多且难度大。

以具体问题为例，对比算术方法与方程方法的解题过程，说明方程的优越性：方程采用顺向思维，将日常问题转化为代数表达式，思路清晰，能简化复杂数量关系的处理，降低思维难度，适用于各类数量关系问题。例如“父子年龄和58岁，7年后父亲年龄是儿子2倍，求年龄”，算术方法需逆向推导，步骤繁琐；方程设未知数后，直接根据等量关系列方程，解题过程简单明了。