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6.如图,直角三角形三条边长分别是 12 厘米,16 厘米,20 厘米,将它的最短边沿虚线折一折,与斜边重合.那么,图中阴影部分的面积是
24
平方厘米.答案
6.24
解析
【分析】
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，重叠的两个三角形面积相等。首先确定原直角三角形的最短边为12cm，斜边为20cm，先算出折叠后斜边未被覆盖的长度为20-12=8cm。再设阴影部分的短直角边长为x，可知重叠的小三角形的高也为x，根据“原直角三角形总面积=2个重叠小三角形的面积和+阴影部分面积”列方程求出x，最后代入三角形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
解：原直角三角形的三条边中，最短边为12cm，斜边为20cm，另一条直角边长16cm。
根据折叠的性质，12cm的短边折叠后与斜边重合，因此斜边未被覆盖的长度为：
$20-12=8(\mathrm{cm})$
设阴影部分的短直角边长为$x$cm，重叠的两个小直角三角形的高也为$x$cm。
原直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×12×16=96(\mathrm{平方厘米})$
2个重叠小三角形的面积和为：
$2×\frac{1}{2}×12×x=12x(\mathrm{平方厘米})$
阴影部分的面积为：
$\frac{1}{2}×8×x=4x(\mathrm{平方厘米})$
根据总面积相等列方程：
$12x+4x=96$
解得$x=6$
则阴影部分面积为：$4×6=24(\mathrm{平方厘米})$
【答案】
24
【知识点】
折叠的性质；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后的等量关系，通过总面积建立方程求解，能很好地锻炼学生的逻辑推理和方程思想运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时先利用折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，重叠的两个三角形面积相等。首先确定原直角三角形的最短边为12cm，斜边为20cm，先算出折叠后斜边未被覆盖的长度为20-12=8cm。再设阴影部分的短直角边长为x，可知重叠的小三角形的高也为x，根据“原直角三角形总面积=2个重叠小三角形的面积和+阴影部分面积”列方程求出x，最后代入三角形面积公式计算阴影部分面积即可。
【解析】
解：原直角三角形的三条边中，最短边为12cm，斜边为20cm，另一条直角边长16cm。
根据折叠的性质，12cm的短边折叠后与斜边重合，因此斜边未被覆盖的长度为：
$20-12=8(\mathrm{cm})$
设阴影部分的短直角边长为$x$cm，重叠的两个小直角三角形的高也为$x$cm。
原直角三角形的面积为：
$\frac{1}{2}×12×16=96(\mathrm{平方厘米})$
2个重叠小三角形的面积和为：
$2×\frac{1}{2}×12×x=12x(\mathrm{平方厘米})$
阴影部分的面积为：
$\frac{1}{2}×8×x=4x(\mathrm{平方厘米})$
根据总面积相等列方程：
$12x+4x=96$
解得$x=6$
则阴影部分面积为：$4×6=24(\mathrm{平方厘米})$
【答案】
24
【知识点】
折叠的性质；三角形面积计算；一元一次方程的应用
【点评】
本题是几何与方程结合的基础题型，解题的核心是抓住折叠前后的等量关系，通过总面积建立方程求解，能很好地锻炼学生的逻辑推理和方程思想运用能力。
【难度系数】
0.6
7.为了安全方便,某自助加油站只提供两种自助加油方式:"每次定额只加 200 元"与"每次定量只加 40 升".自助加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式,那么哪种加油方式更合算呢?请以两种加油方式各加油两次予以说明.
"更合算"指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变,假设第一次加油时油价为8.6元/升,第二次加油时油价为9.2元/升.(只列出式子不要求计算结果)
(1)两次加油,每次只加 200 元的平均油价为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$元/升;
(2)两次加油,每次只加 40 升的平均油价为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$元/升.
"更合算"指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变,假设第一次加油时油价为8.6元/升,第二次加油时油价为9.2元/升.(只列出式子不要求计算结果)
(1)两次加油,每次只加 200 元的平均油价为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$元/升;
(2)两次加油,每次只加 40 升的平均油价为$\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}$元/升.
答案
7.(1)$[200×2÷(200÷8.6+200÷9.2)]$
(2)$[(8.6×40+9.2×40)÷(40×2)]$
(2)$[(8.6×40+9.2×40)÷(40×2)]$
解析
【分析】
要计算平均油价，需牢记核心公式：平均油价 = 两次加油总花费 ÷ 两次加油总升数，我们分别对应两种加油方式计算对应量后代入公式即可。
对于“每次加200元”的方式：先算两次加油的总花费，再分别计算两次油价下200元可加的油量，求和得到总升数，代入公式列代数式。
对于“每次加40升”的方式：先算两次加油的总升数，再分别计算两次油价下加40升的花费，求和得到总花费，代入公式列代数式。
【解析】
(1) 每次只加200元的情况：
① 两次加油总花费：$200 × 2$ 元
② 第一次加油升数：$200 ÷ 8.6$ 升，第二次加油升数：$200 ÷ 9.2$ 升，总升数为$(200 ÷ 8.6 + 200 ÷ 9.2)$ 升
③ 平均油价 = 总花费÷总升数，列式为$200 × 2 ÷ (200 ÷ 8.6 + 200 ÷ 9.2)$
(2) 每次只加40升的情况：
① 两次加油总升数：$40 × 2$ 升
② 第一次加油花费：$8.6 × 40$ 元，第二次加油花费：$9.2 × 40$ 元，总花费为$(8.6 × 40 + 9.2 × 40)$ 元
③ 平均油价 = 总花费÷总升数，列式为$(8.6 × 40 + 9.2 × 40) ÷ (40 × 2)$
【答案】
(1)$200×2÷(200÷8.6+200÷9.2)$
(2)$(8.6×40+9.2×40)÷(40×2)$
【知识点】
平均数计算、列代数式、实际问题数量关系
【点评】
本题结合生活实际考查平均价格的计算，解题关键是抓住平均油价的本质是总费用除以总油量，避免直接对两次油价取算术平均的错误。
【难度系数】
0.7
要计算平均油价，需牢记核心公式：平均油价 = 两次加油总花费 ÷ 两次加油总升数，我们分别对应两种加油方式计算对应量后代入公式即可。
对于“每次加200元”的方式：先算两次加油的总花费，再分别计算两次油价下200元可加的油量，求和得到总升数，代入公式列代数式。
对于“每次加40升”的方式：先算两次加油的总升数，再分别计算两次油价下加40升的花费，求和得到总花费，代入公式列代数式。
【解析】
(1) 每次只加200元的情况：
① 两次加油总花费：$200 × 2$ 元
② 第一次加油升数：$200 ÷ 8.6$ 升，第二次加油升数：$200 ÷ 9.2$ 升，总升数为$(200 ÷ 8.6 + 200 ÷ 9.2)$ 升
③ 平均油价 = 总花费÷总升数，列式为$200 × 2 ÷ (200 ÷ 8.6 + 200 ÷ 9.2)$
(2) 每次只加40升的情况：
① 两次加油总升数：$40 × 2$ 升
② 第一次加油花费：$8.6 × 40$ 元，第二次加油花费：$9.2 × 40$ 元，总花费为$(8.6 × 40 + 9.2 × 40)$ 元
③ 平均油价 = 总花费÷总升数，列式为$(8.6 × 40 + 9.2 × 40) ÷ (40 × 2)$
【答案】
(1)$200×2÷(200÷8.6+200÷9.2)$
(2)$(8.6×40+9.2×40)÷(40×2)$
【知识点】
平均数计算、列代数式、实际问题数量关系
【点评】
本题结合生活实际考查平均价格的计算，解题关键是抓住平均油价的本质是总费用除以总油量，避免直接对两次油价取算术平均的错误。
【难度系数】
0.7
8. 图形是研究数学的重要工具,有一些复杂的运算若用图形表示出来,一看便知其结果. 如计算$1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{16}$,结果表示为图形,即为图中的阴影部分,显然为$\frac{1}{16}$. 你能构造一个图形来描述$1+3+5+7+9$的结果吗? 利用画出的图形你能得出$1+3+5+···+363$的结果吗?
答案
8.解:如答图
,利用正方形的面积即可描述 1+3+5+7+9的结果. 类似地,可得 1+3+5+…+(2×182−1)=182×182=33124.解析
【分析】
解题时可结合数形结合的思路思考：从1开始的连续奇数相加，可对应正方形的面积：1对应边长为1的正方形，面积为$1^2$；$1+3$对应边长为2的正方形，面积为$2^2$；以此类推，从1开始的n个连续奇数的和就等于边长为n的正方形面积，即$n^2$。首先按照这个规律构造$1+3+5+7+9$对应的图形：这是5个连续奇数相加，对应边长为5的正方形即可。再计算$1+3+…+363$的和：先根据奇数的表达式$2n-1$，求出363是第几个奇数，再代入规律即可求出结果。
【解析】
1. 构造图形：用面积为1的单位小正方形表示数1：
1对应1个小正方形，即边长为1的正方形，面积为$1^2$；
$1+3$对应在边长为1的正方形外补充3个小正方形，形成边长为2的正方形，面积为$2^2$；
同理，$1+3+5+7+9$是从1开始的5个连续奇数相加，对应边长为5的正方形，面积为$5^2=25$，图形如答图所示。
2. 探究求和规律：通过图形可发现，从1开始的连续n个奇数的和等于$n^2$，其中第n个奇数可表示为$2n-1$。
3. 计算$1+3+5+…+363$的和：
令$2n-1=363$，解得$2n=364$，$n=182$，即363是第182个奇数。
因此$1+3+5+…+363=182^2=33124$。
【答案】
如答图，利用正方形的面积即可描述 1+3+5+7+9的结果。类似地，可得 1+3+5+…+(2×182−1)=182×182=33124。
【知识点】
数形结合、规律探究、奇数的特征
【点评】
本题借助图形将抽象的数列求和转化为直观的面积计算，能帮助我们快速总结出从1开始的连续奇数的求和规律，充分体现了数形结合思想在解决数学问题中的优势，降低了复杂数列求和的难度。
【难度系数】
0.7
解题时可结合数形结合的思路思考：从1开始的连续奇数相加，可对应正方形的面积：1对应边长为1的正方形，面积为$1^2$；$1+3$对应边长为2的正方形，面积为$2^2$；以此类推，从1开始的n个连续奇数的和就等于边长为n的正方形面积，即$n^2$。首先按照这个规律构造$1+3+5+7+9$对应的图形：这是5个连续奇数相加，对应边长为5的正方形即可。再计算$1+3+…+363$的和：先根据奇数的表达式$2n-1$，求出363是第几个奇数，再代入规律即可求出结果。
【解析】
1. 构造图形：用面积为1的单位小正方形表示数1：
1对应1个小正方形，即边长为1的正方形，面积为$1^2$；
$1+3$对应在边长为1的正方形外补充3个小正方形，形成边长为2的正方形，面积为$2^2$；
同理，$1+3+5+7+9$是从1开始的5个连续奇数相加，对应边长为5的正方形，面积为$5^2=25$，图形如答图所示。
2. 探究求和规律：通过图形可发现，从1开始的连续n个奇数的和等于$n^2$，其中第n个奇数可表示为$2n-1$。
3. 计算$1+3+5+…+363$的和：
令$2n-1=363$，解得$2n=364$，$n=182$，即363是第182个奇数。
因此$1+3+5+…+363=182^2=33124$。
【答案】
如答图
，利用正方形的面积即可描述 1+3+5+7+9的结果。类似地，可得 1+3+5+…+(2×182−1)=182×182=33124。【知识点】
数形结合、规律探究、奇数的特征
【点评】
本题借助图形将抽象的数列求和转化为直观的面积计算，能帮助我们快速总结出从1开始的连续奇数的求和规律，充分体现了数形结合思想在解决数学问题中的优势，降低了复杂数列求和的难度。
【难度系数】
0.7
