1. 如图,在平面直角坐标系中有点$A(1,0)$,第1次点$A$跳动至点$A_1(-1,1)$,第2次点$A_1$跳动至点$A_2(2,1)$,第3次点$A_2$跳动至点$A_3(-2,2)$,第4次点$A_3$跳动至点$A_4(3,2),···$,依此规律跳动下去,则点$A_{2\ 025}$与点$A_{2\ 026}$之间的距离是 （）


A.2 025
B.2 026
C.2 027
D.2 028

1. C 提示:由题意可得,第5次点$A_4$跳动至点$A_5(-3,3)$,第6次点$A_5$跳动至点$A_6(4,3),…$,第$(2n-1)$次跳动至点$A_{2n-1}(-n,n)$,第$2n$次跳动至点$A_{2n}(n+1,n)$,所以点$A_{2025}$的坐标为$(-1\ 013,1\ 013)$,点$A_{2026}$的坐标为$(1\ 014,1\ 013)$.所以点$A_{2025}$与点$A_{2026}$之间的距离是$1\ 014-(-1\ 013)=2\ 027$.

2. 如图,在平面直角坐标系中,$△ OAB$三个顶点的坐标分别为$O(0,0),A(-3,4)$,$B(3,4)$.将$△ OAB$与正方形$ABCD$组成的图形绕点$O$顺时针旋转,每次旋转$90°$,则第2026次旋转结束时,点$D$的坐标为()


A.$(10,3)$
B.$(-3,10)$
C.$(-10,-3)$
D.$(3,-10)$

2. D 提示:因为点$A(-3,4),B(3,4)$,所以$AB=6$.因为四边形$ABCD$是正方形,所以$AD=AB=6$.所以点$D$的坐标为$(-3,10)$.因为$360°÷90°=4$,所以每4次旋转为一个循环.因为$2\ 026÷4=506······2$,所以第2026次旋转结束时,点$D$的位置与第2次旋转结束时点$D$的位置相同.因为第2次旋转结束时,点$D$绕点$O$顺时针旋转了$90°×2=180°$,所以此时点$D$的坐标为$(3,-10)$.

3. 如图,将点$A_1(1,1)$向上平移1个单位长度,再向右平移2个单位长度,得到点$A_2$;将点$A_2$向上平移2个单位长度,再向右平移4个单位长度,得到点$A_3$;将点$A_3$向上平移4个单位长度,再向右平移8个单位长度,得到点$A_4$;……按这个规律平移得到点$A_n$,则点$A_{2025}$的横坐标为.

3. $2^{2\ 025}-1$ 提示:因为点$A_1$的横坐标为$1=2^1-1$,点$A_2$的横坐标为$3=2^2-1$,点$A_3$的横坐标为$7=2^3-1$,点$A_4$的横坐标为$15=2^4-1,…$,所以按这个规律平移得到点$A_n$的横坐标为$2^n-1$,所以点$A_{2\ 025}$的横坐标为$2^{2\ 025}-1$.

4. 在如图所示的平面直角坐标系中,按规律排列的$△ A_{1}A_{2}A_{3},△ A_{3}A_{4}A_{5},△ A_{5}A_{6}A_{7}$,$△ A_{7}A_{8}A_{9},···$都是等腰直角三角形,且顶点都在格点上(点$A_{3}$与原点$O$重合).已知点$A_{1}(2,0),A_{2}(1,-1),A_{3}(0,0),A_{4}(2,$$2),A_{5}(4,0),A_{6}(1,-3),A_{7}(-2,0),$$A_{8}(2,4),A_{9}(6,0),···$,则点$A_{{2026}}$的坐标为.

4. $(1,-1\ 013)$ 提示:观察题中各点的坐标,易知点$A_{4k+1}(2k+2,0)$,点$A_{4k+2}(1,2k-1)$,点$A_{4k+3}(-2k,0)$,点$A_{4k+4}(2,2k+2)$,其中$k$为自然数.由$2026÷4=506······2$,得$k=506$,所以点$A_{2026}$的坐标为$(1,-2×506-1)$,即点$A_{2026}(1,-1\ 013)$.

5. 如图,等边三角形$ABC$的顶点$A(1,1)$,$B(3,1)$,规定把等边三角形$ABC$“先沿$x$轴翻折,再向左平移1个单位长度”为一次变换,这样连续经过2 026次变换后,$△ ABC$的顶点$C$的坐标为.

5. $(-2\ 024,1+\sqrt{3})$ 提示:因为$△ ABC$是等边三角形,$AB=3-1=2$,所以点$C$到$x$轴的距离为$1+\sqrt{3}$,横坐标为2,所以$C(2,1+\sqrt{3})$.由题意可得,第1次变换后点$C$的坐标变为$(2-1,-1-\sqrt{3})$,即$(1,-1-\sqrt{3})$;第2次变换后点$C$的坐标变为$(2-2,1+\sqrt{3})$,即$(0,1+\sqrt{3})$;第3次变换后点$C$的坐标变为$(2-3,-1-\sqrt{3})$,即$(-1,-1-\sqrt{3})$;…;第$n$次变换后点$C$的坐标变为$(2-n,-1-\sqrt{3})$($n$为奇数)或$(2-n,1+\sqrt{3})$($n$为偶数),所以连续经过2 026次变换后,等边三角形$ABC$的顶点$C$的坐标为$(-2\ 024,1+\sqrt{3})$.