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16. 新题型 新定义(2025·宁波期中)定义：对于一组关于$x$的多项式$x + a$，$x + b$，$x + c$，$x + d$，当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差为常数$p$时(不含字母$x$)，称这样的四个多项式是一组黄金多项式，常数$p$的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子。若多项式$x + n$，$x + \sqrt{5}$，$x + \sqrt{5}-1$，$x + \sqrt{5}+1$是一组黄金多项式，黄金因子为 2，则$n$的值为
$\sqrt{5}\pm2$
。答案
16. $\sqrt{5}\pm2$ 解析:若多项式$x + n$, $x+\sqrt{5}$, $x+\sqrt{5}-1$, $x+\sqrt{5}+1$(n是有理数)是一组黄金多项式,有三种情况,①$(x + n)(x+\sqrt{5})-(x+\sqrt{5}+1)(x+\sqrt{5}-1)=x^2+(\sqrt{5}+n)x+\sqrt{5}n-x^2-2\sqrt{5}x-5 + 1=(n - \sqrt{5})x+\sqrt{5}n - 4$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}=0$,
∴ $n=\sqrt{5}$,此时$\vert\sqrt{5}n - 4\vert = 1$舍去;②$(x + n)(x+\sqrt{5}+1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}-1)=x^2+(\sqrt{5}+1+n)x+(\sqrt{5}+1)n-x^2-(2\sqrt{5}-1)x-5+\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}+2)x+(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}+2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}-2$.此时$\vert(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$,符合题意;③$(x + n)(x+\sqrt{5}-1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}+1)=x^2+(\sqrt{5}-1+n)x+(\sqrt{5}-1)n-x^2-(2\sqrt{5}+1)x-5-\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}-2)x+(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}-2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}+2$.此时$\vert(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$.综上所述,n的值为$\sqrt{5}\pm2$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}=0$,
∴ $n=\sqrt{5}$,此时$\vert\sqrt{5}n - 4\vert = 1$舍去;②$(x + n)(x+\sqrt{5}+1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}-1)=x^2+(\sqrt{5}+1+n)x+(\sqrt{5}+1)n-x^2-(2\sqrt{5}-1)x-5+\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}+2)x+(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}+2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}-2$.此时$\vert(\sqrt{5}+1)n-5+\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$,符合题意;③$(x + n)(x+\sqrt{5}-1)-(x+\sqrt{5})(x+\sqrt{5}+1)=x^2+(\sqrt{5}-1+n)x+(\sqrt{5}-1)n-x^2-(2\sqrt{5}+1)x-5-\sqrt{5}=(n - \sqrt{5}-2)x+(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}$.
∵这是一组黄金多项式,
∴ $n - \sqrt{5}-2 = 0$,
∴ $n=\sqrt{5}+2$.此时$\vert(\sqrt{5}-1)n-5-\sqrt{5}\vert=\vert - 2\vert = 2$.综上所述,n的值为$\sqrt{5}\pm2$.
三、解答题（共 44 分）
17. （8 分）计算：
（1）$\sqrt{18}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{3a^{2}}÷3\sqrt{\dfrac{a}{2}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}(a ＞ 0)$；
（3）$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$；
（4）$-1^{2025}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}+1-\sqrt{2}+(π - 3)^{0}$。
17. （8 分）计算：
（1）$\sqrt{18}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}$；
（2）$\sqrt{3a^{2}}÷3\sqrt{\dfrac{a}{2}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}(a ＞ 0)$；
（3）$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}$；
（4）$-1^{2025}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}+1-\sqrt{2}+(π - 3)^{0}$。
答案
$(1)$计算$\boldsymbol{\sqrt{18}-\dfrac{3}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}}$
解：
将各项根式化简：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。
则原式$ = 3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}$
$=(3 - \dfrac{3}{2}+2)\sqrt{2}$
$=(\dfrac{6}{2}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2})\sqrt{2}$
$=\dfrac{7}{2}\sqrt{2}$
$(2)$计算$\boldsymbol{\sqrt{3a^{2}}÷3\sqrt{\dfrac{a}{2}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}(a ＞ 0)}$
解：
根据根式运算法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\dfrac{m}{n}}$，$\sqrt{m}×\sqrt{n}=\sqrt{mn}$进行计算。
$\sqrt{3a^{2}} = \sqrt{3}a$，$3\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2a}}{2}$。
则原式$=\sqrt{3}a÷\dfrac{3\sqrt{2a}}{2}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\sqrt{3}a×\dfrac{2}{3\sqrt{2a}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}a}{3\sqrt{2a}}×\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}a}{3\sqrt{2a}}×\dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{a}{3}$
$(3)$计算$\boldsymbol{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}$
解：
根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，完全平方公式$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$计算。
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12 - 4\sqrt{6}+2 = 14 - 4\sqrt{6}$。
则原式$=2-(14 - 4\sqrt{6})$
$=2 - 14 + 4\sqrt{6}$
$=-12 + 4\sqrt{6}$
$(4)$计算$\boldsymbol{-1^{2025}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}+|1-\sqrt{2}|+(π - 3)^{0}}$
解：
根据幂的运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，$a^0 = 1(a≠0)$，绝对值性质$\vert m - n\vert=\begin{cases}m - n(m≥ n)\\n - m(m＜ n)\end{cases}$计算。
$-1^{2025}=-1$，$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=4$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}=\sqrt{\dfrac{1}{3}×48}=\sqrt{16}=4$，$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$，$(π - 3)^{0}=1$。
则原式$=-1 + 4 - 4+\sqrt{2}-1 + 1$
$=(-1 - 1+1)+(4 - 4)+\sqrt{2}$
$=-1+\sqrt{2}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{\dfrac{7}{2}\sqrt{2}}$；$(2)\boldsymbol{\dfrac{a}{3}}$；$(3)\boldsymbol{-12 + 4\sqrt{6}}$；$(4)\boldsymbol{-1+\sqrt{2}}$。
解：
将各项根式化简：
$\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，$\dfrac{3}{\sqrt{2}}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$。
则原式$ = 3\sqrt{2}-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}+2\sqrt{2}$
$=(3 - \dfrac{3}{2}+2)\sqrt{2}$
$=(\dfrac{6}{2}-\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2})\sqrt{2}$
$=\dfrac{7}{2}\sqrt{2}$
$(2)$计算$\boldsymbol{\sqrt{3a^{2}}÷3\sqrt{\dfrac{a}{2}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}(a ＞ 0)}$
解：
根据根式运算法则$\sqrt{m}÷\sqrt{n}=\sqrt{\dfrac{m}{n}}$，$\sqrt{m}×\sqrt{n}=\sqrt{mn}$进行计算。
$\sqrt{3a^{2}} = \sqrt{3}a$，$3\sqrt{\dfrac{a}{2}}=\dfrac{3\sqrt{2a}}{2}$。
则原式$=\sqrt{3}a÷\dfrac{3\sqrt{2a}}{2}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\sqrt{3}a×\dfrac{2}{3\sqrt{2a}}×\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}a}{3\sqrt{2a}}×\sqrt{\dfrac{2a}{3}}$
$=\dfrac{\sqrt{3}a}{3\sqrt{2a}}×\dfrac{\sqrt{2a}}{\sqrt{3}}$
$=\dfrac{a}{3}$
$(3)$计算$\boldsymbol{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})-(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}}$
解：
根据平方差公式$(m + n)(m - n)=m^2 - n^2$，完全平方公式$(m - n)^2=m^2 - 2mn + n^2$计算。
$(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})=(\sqrt{5})^2-(\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$。
$(2\sqrt{3}-\sqrt{2})^{2}=(2\sqrt{3})^2-2×2\sqrt{3}×\sqrt{2}+(\sqrt{2})^2=12 - 4\sqrt{6}+2 = 14 - 4\sqrt{6}$。
则原式$=2-(14 - 4\sqrt{6})$
$=2 - 14 + 4\sqrt{6}$
$=-12 + 4\sqrt{6}$
$(4)$计算$\boldsymbol{-1^{2025}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}-\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}+|1-\sqrt{2}|+(π - 3)^{0}}$
解：
根据幂的运算法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，$a^0 = 1(a≠0)$，绝对值性质$\vert m - n\vert=\begin{cases}m - n(m≥ n)\\n - m(m＜ n)\end{cases}$计算。
$-1^{2025}=-1$，$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=4$，$\sqrt{\dfrac{1}{3}}×\sqrt{48}=\sqrt{\dfrac{1}{3}×48}=\sqrt{16}=4$，$\vert1 - \sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1$，$(π - 3)^{0}=1$。
则原式$=-1 + 4 - 4+\sqrt{2}-1 + 1$
$=(-1 - 1+1)+(4 - 4)+\sqrt{2}$
$=-1+\sqrt{2}$
综上，答案依次为：$(1)\boldsymbol{\dfrac{7}{2}\sqrt{2}}$；$(2)\boldsymbol{\dfrac{a}{3}}$；$(3)\boldsymbol{-12 + 4\sqrt{6}}$；$(4)\boldsymbol{-1+\sqrt{2}}$。
18. （4 分）如图，长方体的底面积为 20，长、宽、高的比为$4:2:\sqrt{5}$。
（1）求这个长方体的高；
（2）求这个长方体的表面积。
（1）求这个长方体的高；
（2）求这个长方体的表面积。
答案
18. (1)设长方体的长为$4x$,宽为$2x$,高为$\sqrt{5}x$,由题意得$4x·2x = 20$, $x=\frac{\sqrt{10}}{2}$,
∴高为$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(2)此长方体的长为$4×\frac{\sqrt{10}}{2}=2\sqrt{10}$,宽为$2×\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$,表面积为$2×(20 + 2\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2}+\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2})=40 + 30\sqrt{5}$.
∴高为$\sqrt{5}×\frac{\sqrt{10}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$.
(2)此长方体的长为$4×\frac{\sqrt{10}}{2}=2\sqrt{10}$,宽为$2×\frac{\sqrt{10}}{2}=\sqrt{10}$,表面积为$2×(20 + 2\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2}+\sqrt{10}×\frac{5\sqrt{2}}{2})=40 + 30\sqrt{5}$.
19. （6 分）先化简，再求值：
（1）$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$，将你喜欢的$x$值代入求值。
（2）已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，求$\dfrac{a^{2}-2a + 1}{a - 1}-\dfrac{\sqrt{a^{2}-2a + 1}}{a^{2}-a}$的值。
（1）$\dfrac{2}{3}\sqrt{9x}+6\sqrt{\dfrac{x}{4}}-2x\sqrt{\dfrac{1}{x}}$，将你喜欢的$x$值代入求值。
（2）已知$a=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$，求$\dfrac{a^{2}-2a + 1}{a - 1}-\dfrac{\sqrt{a^{2}-2a + 1}}{a^{2}-a}$的值。
答案
19. (1)原式$=\frac{2}{3}×3\sqrt{x}+6×\frac{\sqrt{x}}{2}-2x·\frac{\sqrt{x}}{x}=2\sqrt{x}+3\sqrt{x}-2\sqrt{x}=3\sqrt{x}$,取$x ＞ 0$的值即可,如:当$x = 4$时,原式$=3\sqrt{4}=6$.
(2)
∵ $a=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,
∴ $\frac{1}{a}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $a - 1=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1 ＜ 0$,
∴ $\frac{a^2 - 2a + 1}{a - 1}-\frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}=\frac{(a - 1)^2}{a - 1}+\frac{a - 1}{a(a - 1)}=a - 1+\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{3}-1$.
(2)
∵ $a=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,
∴ $\frac{1}{a}=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, $a - 1=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1 ＜ 0$,
∴ $\frac{a^2 - 2a + 1}{a - 1}-\frac{\sqrt{a^2 - 2a + 1}}{a^2 - a}=\frac{(a - 1)^2}{a - 1}+\frac{a - 1}{a(a - 1)}=a - 1+\frac{1}{a}=\sqrt{3}-\sqrt{2}-1+\sqrt{3}+\sqrt{2}=2\sqrt{3}-1$.
20. （6 分）如图，数轴上与$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$对应的点分别是$A$，$B$。点$B$关于点$A$的对称点为$C$，设点$C$表示的数为$x$，求：
（1）$x$的值；
（2）$(17 + 4\sqrt{15})x^{2}-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2$的值。
（1）$x$的值；
（2）$(17 + 4\sqrt{15})x^{2}-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2$的值。
答案
20. (1)
∵ 数轴上与$\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$对应的点分别是A,B,
∴ $AB=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.又$AC = AB$,
∴ $\sqrt{3}-x=\sqrt{5}-\sqrt{3}$,
∴ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$.
(2)
∵ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$,
∴ $x^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=17 - 4\sqrt{15}$,
∴ $(17 + 4\sqrt{15})x^2-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2=(17 + 4\sqrt{15})(17 - 4\sqrt{15})-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})-2=289 - 240-12 + 5-2 = 40$.
∵ 数轴上与$\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$对应的点分别是A,B,
∴ $AB=\sqrt{5}-\sqrt{3}$.又$AC = AB$,
∴ $\sqrt{3}-x=\sqrt{5}-\sqrt{3}$,
∴ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$.
(2)
∵ $x = 2\sqrt{3}-\sqrt{5}$,
∴ $x^2=(2\sqrt{3}-\sqrt{5})^2=17 - 4\sqrt{15}$,
∴ $(17 + 4\sqrt{15})x^2-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})x - 2=(17 + 4\sqrt{15})(17 - 4\sqrt{15})-(2\sqrt{3}+\sqrt{5})(2\sqrt{3}-\sqrt{5})-2=289 - 240-12 + 5-2 = 40$.
