7 如图,小明的父亲在相距 2 m 的两棵树之间拴了一根绳子,给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面的高度都是 2.5 m,绳子自然下垂呈抛物线状. 当身高 1 m 的小明距较近的那棵树 0.5 m 时,头部刚好接触到绳子,则绳子的最低点到地面的距离为m.

7. 0.5 【解析】如图,建立平面直角坐标系.设抛物线对应的函数解析式为 $y=ax^{2}+c$. 将(-0.5,1),(1,2.5)代入,得$\begin{cases}0.25a+c=1,\\a+c=2.5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\c=0.5.\end{cases}$ $\therefore$ 该抛物线对应的函数解析式为$y=2x^{2}+0.5$. 当 $x=0$ 时,$y=0.5,\therefore$ 绳子的最低点到地面的距离为 0.5 m.

【分析】
要解决这个问题，首先根据题意建立平面直角坐标系，利用抛物线的对称性设出抛物线的解析式；再找到题目中给出的两个点的坐标，代入解析式得到方程组，求解出解析式的系数；最后根据抛物线的性质，最低点在对称轴处，代入解析式计算出最低点到地面的距离。
【解析】
以两棵树之间的中点为原点，地面为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。
已知两棵树相距2m，故较近的树对应x=-1，较远的树对应x=1；小明距较近的树0.5m，身高1m，因此小明头部接触绳子的点坐标为(-0.5,1)；拴绳子的树的高度为2.5m，对应点坐标为(1,2.5)。
设抛物线的解析式为$y=ax^2 + c$，将两点代入得方程组：
$\begin{cases}0.25a + c = 1 \\a + c = 2.5\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去$c$：$0.75a = 1.5$，解得$a=2$；将$a=2$代入$a + c=2.5$，得$c=0.5$。
因此抛物线解析式为$y=2x^2 + 0.5$。
抛物线的最低点在对称轴$x=0$处，代入解析式得$y=0.5$，即绳子最低点到地面的距离为0.5m。
【答案】
0.5
【知识点】
二次函数应用、抛物线解析式
【点评】
本题结合实际场景考查二次函数的应用，核心是利用抛物线的对称性设解析式，通过待定系数法求解，步骤清晰，难度适中，能较好地考查学生将实际问题转化为数学问题的能力。
【难度系数】
0.4

8 综合与实践.
项目主题:合理设置智慧洒水车喷头.
项目背景:洒水车是城市绿化的主力军,清扫道路,美化市容,降温除尘,环保绿化.
如图①,一辆洒水车正在沿着公路行驶(平行于绿化带),为绿化带浇水.数学小组成员想了解洒水车要如何把控行驶路线与绿化带之间的距离,才能保证喷出的水浇灌到整个绿化带.围绕这个问题,该小组开展了以"合理设置智慧洒水车喷头"为主题的项目式学习.
任务一:测量建模
利用图①中实际测量到的数据建立如图②所示的平面直角坐标系,可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象,喷水口 $ H $ 离地面的竖直高度 $ OH $ 为 $ 1.2\ \mathrm{m} $,上边缘抛物线的最高点 $ A $ 离喷水口 $ H $ 的水平距离 $ AM $ 为 $ 2\ \mathrm{m} $,高出喷水口 $ 0.4\ \mathrm{m}(HM = 0.4\ \mathrm{m}) $.
(1) 求上边缘抛物线对应的函数解析式.
任务二:推理分析
小组成员通过进一步分析发现:当对洒水车喷头进行调整时,喷头喷出水的抛物线形状不发生改变,即下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的.
(2) 请结合图②求出下边缘抛物线与 $ x $ 轴的交点 $ B $ 的坐标.
任务三:实践探究
如果把绿化带横截面抽象为矩形 $ DEFG $,其水平宽度 $ DE = 1.8\ \mathrm{m} $,竖直高度 $ EF = 1.1\ \mathrm{m} $,洒水车到绿化带的距离为 $ OD $.
(3) 若调整洒水车与绿化带的距离 $ OD $ 为 $ 2.2\ \mathrm{m} $,则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带?

8. (1) 由题意,得 $OM=OH+HM=1.6\ \mathrm{m},\therefore A(2,1.6)$ 为上边缘抛物线的顶点. $\therefore$ 可设上边缘抛物线对应的函数解析式为$y=a(x-2)^{2}+1.6$. 又$\because$ 抛物线过点(0,1.2),$\therefore 1.2=4a+1.6.\therefore a=-0.1.\therefore$ 上边缘抛物线对应的函数解析式为 $y=-0.1(x-2)^{2}+1.6$
(2) 由(1),知上边缘抛物线的对称轴为直线 $x=2,\therefore$ 点(0,1.2)关于直线 $x=2$ 的对称点为(4,1.2).$\therefore$ 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移 4 m 得到的. $\therefore$ 下边缘抛物线对应的函数解析式为 $y=-0.1(x+2)^{2}+1.6$. 令$y=0$,则$-0.1(x+2)^{2}+1.6=0$,解得 $x_1=2,x_2=-6$(舍去).$\therefore$ 点 B 的坐标为(2,0)
(3) $\because DE=1.8\ \mathrm{m},OD=2.2\ \mathrm{m}$,$\therefore OE=4\ \mathrm{m}.\because EF=1.1\ \mathrm{m},\therefore$ 点 F 的坐标为(4,1.1). 在$y=-0.1(x-2)^{2}+1.6$ 中,当 $x=4$ 时,$y=-0.1(4-2)^{2}+1.6=1.2＞1.1$,又$\because 2.2＞2$,即 $OD＞OB,\therefore$ 洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带

【分析】
本题将洒水车喷水的上下边缘抽象为抛物线，分三个任务逐步解决：(1) 求上边缘抛物线解析式时，已知顶点坐标和过点H，利用二次函数顶点式代入求解系数；(2) 下边缘由上边缘左移得到，借助上边缘的对称性确定平移距离，再求下边缘与x轴交点B；(3) 计算绿化带右端点F的坐标，代入上边缘解析式求对应y值，结合OD与OB的关系判断能否覆盖整个绿化带。
【解析】
(1) 由题意得，上边缘抛物线的顶点A坐标为(2, 1.6)，设其解析式为$ y = a(x - 2)^2 + 1.6 $。
因为抛物线过点H(0, 1.2)，代入得：$ 1.2 = a(0 - 2)^2 + 1.6 $，解得$ a = -0.1 $。
因此上边缘抛物线的解析式为$ y = -0.1(x - 2)^2 + 1.6 $。
(2) 上边缘抛物线的对称轴为直线$ x = 2 $，点H(0, 1.2)关于直线$ x = 2 $的对称点为(4, 1.2)，说明下边缘抛物线是上边缘向左平移4个单位得到的，故下边缘抛物线解析式为$ y = -0.1(x + 2)^2 + 1.6 $。
令$ y = 0 $，则$ -0.1(x + 2)^2 + 1.6 = 0 $，解得$ x_1 = 2 $，$ x_2 = -6 $（舍去），因此点B的坐标为(2, 0)。
(3) 已知$ OD = 2.2\ \mathrm{m} $，$ DE = 1.8\ \mathrm{m} $，则$ OE = OD + DE = 2.2 + 1.8 = 4\ \mathrm{m} $，又$ EF = 1.1\ \mathrm{m} $，故点F的坐标为(4, 1.1)。
将$ x = 4 $代入上边缘抛物线解析式：$ y = -0.1(4 - 2)^2 + 1.6 = 1.2 $，因为$ 1.2 ＞ 1.1 $，且$ OD = 2.2 ＞ OB = 2 $，所以洒水车喷出的水能浇灌到整个绿化带。
【答案】
(1) $ y = -0.1(x - 2)^2 + 1.6 $；
(2) $ B(2, 0) $；
(3) 能浇灌到整个绿化带。
【知识点】二次函数的解析式、二次函数的平移、二次函数的应用
【点评】本题是二次函数在实际生活中的应用，将喷水轨迹转化为抛物线模型，考查了二次函数顶点式、对称性和平移的知识点，需要学生具备将实际问题转化为数学问题的能力，难度适中。
【难度系数】0.6