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18.先阅读下列的解答过程,然后再解答问题:
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简,只要我们找到两个数$a,b$,使$a+b=m$,$ab=n$,则$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=m$,$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$,那么便有:$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a＞b)$.
例如:化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
解:首先把$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$化为$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$,这里$m=7,n=12$,由于$4+3=7,4×3=12$,即$(\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2=7,\sqrt{4}×\sqrt{3}=\sqrt{12}$,
$\therefore\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2+2\sqrt{4}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$.
仿照上例,计算下列各题:
(1)$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;
(2)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+···+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$.
形如$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}$的化简,只要我们找到两个数$a,b$,使$a+b=m$,$ab=n$,则$(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2=m$,$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{n}$,那么便有:$\sqrt{m\pm2\sqrt{n}}=\sqrt{(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2}=\sqrt{a}\pm\sqrt{b}(a＞b)$.
例如:化简$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$.
解:首先把$\sqrt{7+4\sqrt{3}}$化为$\sqrt{7+2\sqrt{12}}$,这里$m=7,n=12$,由于$4+3=7,4×3=12$,即$(\sqrt{4})^2+(\sqrt{3})^2=7,\sqrt{4}×\sqrt{3}=\sqrt{12}$,
$\therefore\sqrt{7+4\sqrt{3}}=\sqrt{7+2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4})^2+2\sqrt{4}×\sqrt{3}+(\sqrt{3})^2}=\sqrt{(\sqrt{4}+\sqrt{3})^2}=2+\sqrt{3}$.
仿照上例,计算下列各题:
(1)$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$;
(2)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+···+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$.
答案
18.解: (1)$\sqrt{4-2\sqrt{3}} = \sqrt{(\sqrt{3})^2-2×\sqrt{3}×1+1^2} = \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2} = \sqrt{3}-1$.
(2)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+\dots+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2}+\dots+\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{9})^2}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{10}-\sqrt{9}$
$=-1+\sqrt{10}$.
(2)$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+\dots+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$
$=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}+\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2}+\dots+\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{9})^2}$
$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\dots+\sqrt{10}-\sqrt{9}$
$=-1+\sqrt{10}$.
解析
【分析】
本题是材料阅读类二次根式化简题，解题思路如下：
(1) 对于$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$，对照材料给出的$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$化简规则，先确定$m=4,n=3$，找到满足$a+b=4、ab=3$的两个数$a=3、b=1$，将根号内式子配成完全平方形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a＞b$时取正值）化简即可。
(2) 观察求和式中每一项的结构，均符合$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的形式，先按材料方法将每一项配方化简为相邻两个正整数算术平方根的差，开方后中间项可相互抵消，仅保留首尾两项计算即可。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
将根号内式子变形为完全平方形式：
$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$
根据二次根式性质，$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$（$\sqrt{3}＞1$），即$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。
(2) 计算$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+···+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$：
先逐一化简每一项：
$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$
……
$\sqrt{19-2\sqrt{90}}=\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{9})^2}=\sqrt{10}-\sqrt{9}$
代入原式后中间项相互抵消：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+···+(\sqrt{10}-\sqrt{9})$
$=-1+\sqrt{10}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}-1$；(2) $\sqrt{10}-1$
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；裂项抵消
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先准确提取材料中的化简方法，再灵活套用方法解决问题，第二问需要归纳每一项的结构规律，利用抵消思想简化计算，考查信息提取能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.65
本题是材料阅读类二次根式化简题，解题思路如下：
(1) 对于$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$，对照材料给出的$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$化简规则，先确定$m=4,n=3$，找到满足$a+b=4、ab=3$的两个数$a=3、b=1$，将根号内式子配成完全平方形式，再根据二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$（$a＞b$时取正值）化简即可。
(2) 观察求和式中每一项的结构，均符合$\sqrt{m-2\sqrt{n}}$的形式，先按材料方法将每一项配方化简为相邻两个正整数算术平方根的差，开方后中间项可相互抵消，仅保留首尾两项计算即可。
【解析】
(1) 化简$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$：
将根号内式子变形为完全平方形式：
$4-2\sqrt{3}=(\sqrt{3})^2 - 2×\sqrt{3}×1 + 1^2 = (\sqrt{3}-1)^2$
根据二次根式性质，$\sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}=|\sqrt{3}-1|=\sqrt{3}-1$（$\sqrt{3}＞1$），即$\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$。
(2) 计算$\sqrt{3-2\sqrt{2}}+\sqrt{5-2\sqrt{6}}+\sqrt{7-2\sqrt{12}}+···+\sqrt{19-2\sqrt{90}}$：
先逐一化简每一项：
$\sqrt{3-2\sqrt{2}}=\sqrt{(\sqrt{2}-1)^2}=\sqrt{2}-1$
$\sqrt{5-2\sqrt{6}}=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2})^2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$
$\sqrt{7-2\sqrt{12}}=\sqrt{(\sqrt{4}-\sqrt{3})^2}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$
……
$\sqrt{19-2\sqrt{90}}=\sqrt{(\sqrt{10}-\sqrt{9})^2}=\sqrt{10}-\sqrt{9}$
代入原式后中间项相互抵消：
原式$=(\sqrt{2}-1)+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+···+(\sqrt{10}-\sqrt{9})$
$=-1+\sqrt{10}$
【答案】
(1) $\sqrt{3}-1$；(2) $\sqrt{10}-1$
【知识点】
二次根式化简；完全平方公式；裂项抵消
【点评】
本题属于阅读理解类题型，需要先准确提取材料中的化简方法，再灵活套用方法解决问题，第二问需要归纳每一项的结构规律，利用抵消思想简化计算，考查信息提取能力和规律归纳能力。
【难度系数】
0.65
