8. 下列说法正确的有 （ ）
(1)若$ab=0$，则点$P(a,b)$表示原点；(2)已知点$A(1,-3)$、$B(1,3)$，则直线$AB// y$轴；
(3)点$(1,-a^2)$在第四象限；(4)已知点$A(1,-3)$，$AB// y$轴，$AB=4$，则点$B$的坐标为$(1,1)$。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个

B

9. 若点 A 的坐标为$(-2,-1)$，点 B 的坐标为$(1,3)$，则 A、B 两点之间的距离为$\underline{\hspace{5cm}}$。

5

10. 如图,在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,以点 $ O $ 为圆心、适当长为半径画弧,交 $ x $ 轴于点 $ M $,交 $ y $轴于点 $ N $,再分别以点 $ M $ 和点 $ N $ 为圆心、大于$ \frac{1}{2}MN $ 的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点 $ P(a-2,2a-1) $,则 $ a $ 的值为 ______。

1

11. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,以任意两点 $ P(x_1,y_1) $、$ Q(x_2,y_2) $ 为端点的线段的中点坐标为 $ ( \dfrac{x_1 + y_1}{2}, \dfrac{x_2 + y_2}{2} ) $.现有 $ A(3,8) $、$ B(1,4) $、$ C(-1,6) $ 三点, $ D $ 为线段 $ AB $ 的中点, $ C $ 为线段 $ AE $ 的中点,则线段 $ DE $ 的中点坐标为 ______.

$(-\frac{3}{2},5)$

12. 已知点 $ P(2a - 3, a + 6) $。
(1) 点 $ Q $ 的坐标为 $ (3,3) $，直线 $ PQ // y $ 轴，求点 $ P $ 的坐标。
(2) 点 $ M $ 的坐标为 $ (b + 1,4) $，若 $ PM // x $ 轴，且 $ PM = 5 $，求 $ b $ 的值。
(3) 若点 $ P $ 在第二象限，且它到 $ x $ 轴、$ y $ 轴的距离相等，求 $ a^{2024} + 2024 $ 的值。

解： (1) 由题意可知，​$2a = 3$​，解得​$a = 3$​，​$∴a + 6 = 9$​，​$∴$​点​$P$​的坐标为​$(3，9)$​。(2) ​$∵PM// x$​轴，点​$M$​的坐标为​$(b + 1，4)$​，​$∴a + 6 = 4$​，解得​$a = - 2$​，​$∴$​点​$P$​的坐标为​$( - 7，4)$​。​$∵PM = 5$​，​$∴| - 7-(b + 1)| = 5$​，解得​$b = - 3$​或​$b = - 13$​。(3) 由题意可知，​$|2a - 3| = |a + 6|$​，且​$2a - 3<0$​，​$a + 6>0$​，​$∴2a - 3 + a + 6 = 0$​，解得​$a = - 1$​，​$∴$​原式​$=(-1)^{2024}+2024 = 2025$​。

13. 在平面直角坐标系 $ xOy $ 中,对于点 $ A(x,y) $,若点 $ B $ 的坐标为 $ (ax+y,x+ay) $,则称点 $ B $ 是点 $ A $ 的“$ a $ 级关联点”(其中 $ a $ 为常数,且 $ a ≠ 0 $).例如:点 $ P(1,4) $ 的“2 级关联点”为 $ Q(2 × 1+4,1+2 × 4) $,即 $ Q(6,9) $.
(1)若点 $ P $ 的坐标为 $ (-1,5) $,则点 $ P $ 的“3 级关联点”的坐标为 ______.
(2)若点 $ P $ 的“2 级关联点”是点 $ Q(4,8) $,求点 $ P $ 的坐标.
(3)若点 $ P(m-1,2m) $ 的“$-3$ 级关联点”$ P' $ 位于坐标轴上,求点 $ P' $ 的坐标.

(2,14)
; (2) 解：设点$P$的坐标为$(x,y)。$ 因为点$P$的“$2$级关联点”是点$Q(4,8)，$所以$\begin{cases}2x + y = 4 \\x + 2y = 8 \end{cases}，$ 由$2x + y = 4$可得$y = 4 - 2x，$将其代入$x + 2y = 8$中得： $x + 2(4 - 2x)=8，$ 解得$x = 0。$ 把$x = 0$代入$y = 4 - 2x$得$y = 4 - 2\times0 = 4。$ 所以点$P$的坐标为$(0,4)。$ (3) 解：因为点$P(m - 1,2m)，$所以点$P$的“$-3$级关联点”$P'$的坐标为$(-3(m - 1)+2m,m - 1+(-3)\times2m)，$即$P'(3 - m,-5m - 1)。$ ①当点$P'$位于$x$轴上时，$-5m - 1 = 0，$ $-5m = 1，$ 解得$m = -\frac{1}{5}。$ 则$3 - m = 3-(-\frac{1}{5}) = 3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}，$所以点$P'$的坐标为$(\frac{16}{5},0)。$ ②当点$P'$位于$y$轴上时，$3 - m = 0，$ 解得$m = 3。$ 则$-5m - 1 = -5\times3 - 1 = -15 - 1 = -16，$所以点$P'$的坐标为$(0,-16)。$ 综上所述，点$P'$的坐标为$(\frac{16}{5},0)$或$(0,-16)。$