9. 计算：
(1)$\frac{a^{2}}{a - 1}-\frac{a}{1 - a}$；
(2)$\frac{1}{x + 3}+\frac{6}{x^{2}-9}$；
(3)$\frac{a^{2}+a}{a^{2}+2a + 1}+(\frac{1}{a + 1}+1)$；
(4)$\frac{x^{2}}{x + 1}-x + 1$.

(1)
$\begin{aligned} \frac{a^{2}}{a - 1} - \frac{a}{1 - a} &= \frac{a^{2}}{a - 1} + \frac{a}{a - 1} \\ &= \frac{a^{2} + a}{a - 1} \\ &= \frac{a(a + 1)}{a - 1} \end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned} \frac{1}{x + 3} + \frac{6}{x^{2} - 9} &= \frac{1}{x + 3} + \frac{6}{(x + 3)(x - 3)} \\ &= \frac{x - 3 + 6}{(x + 3)(x - 3)} \\ &= \frac{x + 3}{(x + 3)(x - 3)} \\ &= \frac{1}{x - 3} \end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned} \frac{a^{2} + a}{a^{2} + 2a + 1} + (\frac{1}{a + 1} + 1) &= \frac{a(a + 1)}{(a + 1)^{2}} + \frac{1 + a + 1}{a + 1} \\ &= \frac{a}{a + 1} + \frac{a + 2}{a + 1} \\ &= \frac{2a + 2}{a + 1} \\ &= 2 \end{aligned}$
(4)
$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1 &= \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{x^{2} - 1}{x + 1} \\ &= \frac{x^{2} - x^{2} + 1}{x + 1} \\ &= \frac{1}{x + 1} \end{aligned}$

10. (跨学科—物理)如图所示,把$R_1$,$R_2$两个电阻并联起来,线路$AB上的总电阻为R_{总}$,$R_1$,$R_2$,$R_{总}$满足关系式:$\frac{1}{R_{总}}= \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}$,则求得$R_{总}$等于 ()

A.$R_1 + R_2$
B.$\frac{R_1R_2}{R_1 + R_2}$
C.$\frac{R_1 + R_2}{R_1R_2}$
D.$\frac{R_1 + R_2}{2}$

B

根据题意，有$\frac{1}{R_{总}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$，
通分得到$\frac{1}{R_{总}} = \frac{R_2}{R_1 R_2} + \frac{R_1}{R_1 R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$，
因此$R_{总} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$。

11. 对于任意的$x值都有\frac{2x + 7}{x^{2}+x - 2}= \frac{M}{x + 2}+\frac{N}{x - 1}$,则$M$,$N$的值为 ()
A.$M = 1$,$N = 3$
B.$M = -1$,$N = 3$
C.$M = 2$,$N = 4$
D.$M = 1$,$N = 4$

B

将等式右边通分，得$\frac{M(x - 1) + N(x + 2)}{(x + 2)(x - 1)}$，分母与左边相同，分子应相等，即$2x + 7 = M(x - 1) + N(x + 2)$。整理得$2x + 7 = (M + N)x + (-M + 2N)$，则有$\begin{cases}M + N = 2\\-M + 2N = 7\end{cases}$，解得$M = -1$，$N = 3$。

12. (2025·南充)已知$ab = 1$,$M= \frac{1}{1 + a}+\frac{1}{1 + b}$,$N= \frac{a}{1 + a}+\frac{b}{1 + b}$,则$M与N$的大小关系为 ()
A.$M＞N$
B.$M = N$
C.$M＜N$
D.不确定

B

$\begin{aligned}M&=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}\\&=\frac{(1+b)+(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{2+a+b}{1+a+b+ab}\end{aligned}$
$\begin{aligned}N&=\frac{a}{1+a}+\frac{b}{1+b}\\&=\frac{a(1+b)+b(1+a)}{(1+a)(1+b)}\\&=\frac{a+ab+b+ab}{1+a+b+ab}\\&=\frac{a+b+2ab}{1+a+b+ab}\end{aligned}$
因为$ab = 1$，所以$2ab=2$，则$N=\frac{a+b+2}{1+a+b+1}=\frac{a+b+2}{a+b+2}$，$M=\frac{2+a+b}{a+b+2}$，故$M=N$

13. 已知$x$为整数,且$\frac{2}{x + 4}+\frac{2}{4 - x}+\frac{2x + 24}{x^{2}-16}$为整数,则所有符合条件的$x$的值的积为.

180（题目要求直接填答案，这里按照要求应直接写计算结果对应的数值形式，由于不是选择题，按照规则填最终数值结果）

首先对给定的分式进行通分：
$\frac{2}{x + 4} + \frac{2}{4 - x} + \frac{2x + 24}{x^{2} - 16}$
因为$x^{2} - 16 = (x + 4)(x - 4)$，所以通分后分母为$(x + 4)(x - 4)$，
$\frac{2(x - 4) - 2(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)} + \frac{2x + 24}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{2x - 8 - 2x - 8 + 2x + 24}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{2x + 8}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{2(x + 4)}{(x + 4)(x - 4)}$
$=\frac{2}{x - 4}$
因为$x$为整数，且分式的值为整数，
所以$x - 4$能整除$2$，
即$x - 4$的值为$\pm 1$，$\pm 2$，
则$x$的值为$5$，$3$，$6$，$2$，
又因为分式分母不能为$0$，
即$x\neq \pm 4$，
所以所有符合条件的$x$的值的积为$5 × 3 × 6 × 2 = 180$。

14. 阅读给出的材料,比较$A= \frac{2x}{x + 1}与B= \frac{x + 1}{2}$的大小($x$是正数). 下列判断正确的是 ()
作差法
比较代数式$M$,$N$的大小,只要作出它们的差$M - N$.
若$M - N＞0$,则$M＞N$；若$M - N = 0$,则$M = N$；若$M - N＜0$,则$M＜N$.
A.$A\geq B$
B.$A＞B$
C.$A\leq B$
D.$A＜B$

C

$A - B = \frac{2x}{x + 1} - \frac{x + 1}{2} = \frac{4x - (x + 1)^2}{2(x + 1)} = \frac{4x - (x^2 + 2x + 1)}{2(x + 1)} = \frac{-x^2 + 2x - 1}{2(x + 1)} = \frac{-(x - 1)^2}{2(x + 1)}$。
因为$x$是正数，所以$2(x + 1) ＞ 0$，且$(x - 1)^2 \geq 0$，则$-(x - 1)^2 \leq 0$，故$A - B \leq 0$，即$A \leq B$。