1. 二次根式的性质：$\sqrt{ab}=$($a$$0$,$b$$0$),$\sqrt{\frac{a}{b}}=$($a$$0$,$b$$0$)。
2. 一般地,被开方数不含,也不含,这样的二次根式,叫作最简二次根式。

1.$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ $\geqslant$ $\geqslant$ $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\geqslant$ $＞$ 2.分母 能开得尽方的因数或因式

1. 下列运算正确的是()。
A.$\sqrt{2}+\sqrt{3}= \sqrt{5}$
B.$\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}= 2$
C.$\sqrt{18}= 2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{\frac{3}{2}}= \frac{\sqrt{3}}{2}$

B

A. $\sqrt{2}$与$\sqrt{3}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B. $\sqrt{2}÷\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2÷\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$，故B正确；
C. $\sqrt{18}=\sqrt{9×2}=3\sqrt{2}$，故C错误；
D. $\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，故D错误。
答案：B

2. 下列计算正确的是()。
A.$3\sqrt{10}-2\sqrt{5}= \sqrt{5}$
B.$\sqrt{\frac{7}{11}}×(\sqrt{\frac{11}{7}}÷\sqrt{\frac{1}{11}})= \sqrt{11}$
C.$(\sqrt{75}-\sqrt{15})÷\sqrt{3}= 2\sqrt{5}$
D.$\frac{1}{3}\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{8}{9}}= \sqrt{2}$

B

A.$3\sqrt{10}-2\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$与$\sqrt{5}$不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B.$\sqrt{\frac{7}{11}}×(\sqrt{\frac{11}{7}}÷\sqrt{\frac{1}{11}})=\sqrt{\frac{7}{11}}×(\sqrt{\frac{11}{7}×11})=\sqrt{\frac{7}{11}}×\sqrt{\frac{121}{7}}=\sqrt{\frac{7}{11}×\frac{121}{7}}=\sqrt{11}$，故B正确；
C.$(\sqrt{75}-\sqrt{15})÷\sqrt{3}=(5\sqrt{3}-\sqrt{15})÷\sqrt{3}=5-\sqrt{5}$，故C错误；
D.$\frac{1}{3}\sqrt{18}-3\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}×3\sqrt{2}-3×\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}=-\sqrt{2}$，故D错误。
答案：B

3. 下列各组二次根式中,化简后能合并的是()。
A.$\sqrt{8}与\sqrt{3}$
B.$\sqrt{2}与\sqrt{12}$
C.$\sqrt{5}与\sqrt{15}$
D.$\sqrt{75}与\sqrt{27}$

D

A.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，与$\sqrt{3}$被开方数不同，不能合并；
B.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，与$\sqrt{2}$被开方数不同，不能合并；
C.$\sqrt{5}$与$\sqrt{15}$被开方数不同，不能合并；
D.$\sqrt{75}=5\sqrt{3}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$，被开方数相同，能合并。
D

4. 若$\sqrt{12}$与最简二次根式$5\sqrt{a + 1}$能合并,则$a=$。

2

$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$，因为$\sqrt{12}$与$5\sqrt{a + 1}$能合并，所以它们是同类二次根式，即$a + 1 = 3$，解得$a = 2$。
2

5. $\sqrt{6}-2$的相反数是,绝对值是______,倒数是______。

$2-\sqrt{6}$ $\sqrt{6}-2$ $\frac{\sqrt{6}+2}{2}$

6. 化简：
(1)$\sqrt{16×\frac{9}{25}}$；
(2)$\sqrt{16×2}$；
(3)$\sqrt{45}$；
(4)$\sqrt{1\frac{1}{2}}$。

6.解:
(1)原式$=\sqrt{4^{2} ×\left(\frac{3}{5}\right)^{2}}=4 × \frac{3}{5}=\frac{12}{5}$。
(2)原式$=\sqrt{4^{2} × 2}=4 \sqrt{2}$。
(3)原式$=\sqrt{5 × 3^{2}}=3 \sqrt{5}$。
(4)原式$=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$。

7. 如图,小正方形的边长为$1$,连接小正方形的三个顶点得到$\triangle ABC$,回答下列问题：
(1)$\triangle ABC$的周长是多少？
(2)$AC$边上的高是多少？

7.解:
(1)由勾股定理得$AC=AB=\sqrt{5}$,$BC=\sqrt{2}$,所以$\triangle ABC$的周长$=AB+AC+BC=2 \sqrt{5}+\sqrt{2}$。
(2)因为$S_{\triangle ABC}=4-\frac{1}{2} × 1 × 2-\frac{1}{2} × 1 × 2-\frac{1}{2} × 1 × 1=\frac{3}{2}$,$AC=\sqrt{5}$,所以$AC$边上的高$=\frac{3}{2} × 2 ÷ \sqrt{5}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$。