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1. 下列各式由左边到右边的变形中,是因式分解的是(
A.$ a(x + y) = ax + ay $
B.$ x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1 $
C.$ 6x^2 - 3x = 3x(2x - 1) $
D.$ x^2 - 4 + 3x = (x - 2)(x + 2) + 3x $
C
)A.$ a(x + y) = ax + ay $
B.$ x^2 - 2x + 1 = x(x - 2) + 1 $
C.$ 6x^2 - 3x = 3x(2x - 1) $
D.$ x^2 - 4 + 3x = (x - 2)(x + 2) + 3x $
答案
C
解析
因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式。
选项A：$a(x + y) = ax + ay$，是从积的形式化为多项式，不是因式分解。
选项B：$x^{2}-2x + 1 = x(x - 2)+1$，结果不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$6x^{2}-3x = 3x(2x - 1)$，是把多项式化为整式积的形式，是因式分解。
选项D：$x^{2}-4 + 3x=(x - 2)(x + 2)+3x$，结果不是积的形式，不是因式分解。
选项A：$a(x + y) = ax + ay$，是从积的形式化为多项式，不是因式分解。
选项B：$x^{2}-2x + 1 = x(x - 2)+1$，结果不是积的形式，不是因式分解。
选项C：$6x^{2}-3x = 3x(2x - 1)$，是把多项式化为整式积的形式，是因式分解。
选项D：$x^{2}-4 + 3x=(x - 2)(x + 2)+3x$，结果不是积的形式，不是因式分解。
2. 将下列多项式分解因式,结果中不含有因式$(x + 2)$的是(
A.$ x^2 - 4 $
B.$ (x - 2)^2 + 8(x - 2) + 16 $
C.$ x^3 - 4x^2 + 4x $
D.$ x^2 + 2x $
C
)A.$ x^2 - 4 $
B.$ (x - 2)^2 + 8(x - 2) + 16 $
C.$ x^3 - 4x^2 + 4x $
D.$ x^2 + 2x $
答案
C
解析
A. 对于 $x^2 - 4$，利用平方差公式，得：
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
B. 对于 $(x - 2)^2 + 8(x - 2) + 16$，
将其看作是关于 $x - 2$ 的完全平方公式，得：
$(x - 2 + 4)^2 = (x + 2)^2$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
C. 对于 $x^3 - 4x^2 + 4x$，首先提取公因式x，再利用完全平方公式得：
$x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$，
此结果不包含因式 $x + 2$，符合题意。
D. 对于 $x^2 + 2x$，提取公因式x，得：
$x(x + 2)$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
综上所述，只有选项C的结果中不包含因式$x + 2$，
$x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
B. 对于 $(x - 2)^2 + 8(x - 2) + 16$，
将其看作是关于 $x - 2$ 的完全平方公式，得：
$(x - 2 + 4)^2 = (x + 2)^2$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
C. 对于 $x^3 - 4x^2 + 4x$，首先提取公因式x，再利用完全平方公式得：
$x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$，
此结果不包含因式 $x + 2$，符合题意。
D. 对于 $x^2 + 2x$，提取公因式x，得：
$x(x + 2)$，
此结果包含因式 $x + 2$，不符合题意。
综上所述，只有选项C的结果中不包含因式$x + 2$，
3. 下列多项式能用公式法分解因式的有(
①$ x^2 + y^2 $；②$ -x^2 + y^2 $；③$ x^2 + 2xy - y^2 $；④$ -x^2 + 4xy - 4y^2 $.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
B
)①$ x^2 + y^2 $；②$ -x^2 + y^2 $；③$ x^2 + 2xy - y^2 $；④$ -x^2 + 4xy - 4y^2 $.
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
①$x^2 + y^2$无法使用任何因式分解公式进行分解，故①错误；
②$-x^2 + y^2$可看作$y^2 - x^2$，根据平方差公式，可分解为$(y - x)(y + x)$，故②正确；
③$x^2 + 2xy - y^2$无法使用平方差公式和完全平方公式分解，故③错误；
④$-x^2 + 4xy -4y^2 = - (x^2 - 4xy + 4y^2) = - (x - 2y)^2$，根据完全平方公式，可分解，故④正确；
所以能用公式法分解因式的有②④共2个。
②$-x^2 + y^2$可看作$y^2 - x^2$，根据平方差公式，可分解为$(y - x)(y + x)$，故②正确；
③$x^2 + 2xy - y^2$无法使用平方差公式和完全平方公式分解，故③错误；
④$-x^2 + 4xy -4y^2 = - (x^2 - 4xy + 4y^2) = - (x - 2y)^2$，根据完全平方公式，可分解，故④正确；
所以能用公式法分解因式的有②④共2个。
4. 已知$ a $,$ b $,$ c 分别是 \triangle ABC $的三边长,若$ a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 24 $,$ a + b - c = 4 $,则$ \triangle ABC $的周长是(
A.3
B.6
C.8
D.12
B
)A.3
B.6
C.8
D.12
答案
B
解析
∵a²+2ab+b²=c²+24，∴(a+b)²=c²+24。设a+b=x，则由a+b - c=4得c=x - 4。代入上式：x²=(x - 4)²+24，展开得x²=x² - 8x + 16 + 24，化简得8x=40，解得x=5。∴a+b=5，c=5 - 4=1。周长为a+b+c=5 + 1=6。
5. (2024·宜宾)因式分解：$ 2a^2 - 2 = $
$2(a + 1)(a - 1)$
.答案
$2(a + 1)(a - 1)$
解析
首先，观察多项式 $2a^2 - 2$，可以发现两项都含有公因式 $2$。
提取公因式 $2$，得到：
$2a^2 - 2 = 2(a^2 - 1)$
接着，观察括号内的 $a^2 - 1$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 进行因式分解。
应用平方差公式，得到：
$2(a^2 - 1) = 2(a + 1)(a - 1)$
提取公因式 $2$，得到：
$2a^2 - 2 = 2(a^2 - 1)$
接着，观察括号内的 $a^2 - 1$，这是一个平方差形式，可以继续使用平方差公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ 进行因式分解。
应用平方差公式，得到：
$2(a^2 - 1) = 2(a + 1)(a - 1)$
6. (2024·广元)因式分解：$ (a + 1)^2 - 4a = $
$(a - 1)^2$
.答案
$(a - 1)^2$
解析
原式 $(a + 1)^2 - 4a$
= $a^2 + 2a + 1 - 4a$
= $a^2 - 2a + 1$
= $(a - 1)^2$
= $a^2 + 2a + 1 - 4a$
= $a^2 - 2a + 1$
= $(a - 1)^2$
7. (2024·淄博中考)若多项式$ 4x^2 - mxy + 9y^2 $能用完全平方公式因式分解,则$ m $的值是
±12
.答案
±12
解析
因为多项式$4x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，而$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，所以完全平方公式可能为$(2x\pm 3y)^2$。展开$(2x + 3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$，$(2x - 3y)^2 = 4x^2 - 12xy + 9y^2$，对比原式可得$-m = \pm 12$，即$m = \pm 12$。
8. 已知$ ab = 2 $,$ a - 2b = 3 $,则$ 4ab^2 - 2a^2b $的值是
-12
.答案
-12
解析
$4ab^2 - 2a^2b = -2ab(a - 2b)$，将$ab=2$，$a - 2b=3$代入，得$-2×2×3 = -12$
9. 若$ x + y = 1 $,则$ x^2 + 2y - y^2 - 5 = $
$-4$
.答案
$-4$
解析
首先，由已知条件 $x + y = 1$，可以得到 $x = 1 - y$，
将 $x = 1 - y$ 代入 $x^{2} + 2y - y^{2} - 5$ 中，得到：
$(1 - y)^{2} + 2y - y^{2} - 5$
$= 1 - 2y + y^{2} + 2y - y^{2} - 5$
$= -4$
将 $x = 1 - y$ 代入 $x^{2} + 2y - y^{2} - 5$ 中，得到：
$(1 - y)^{2} + 2y - y^{2} - 5$
$= 1 - 2y + y^{2} + 2y - y^{2} - 5$
$= -4$
10. 因式分解：
(1)$ 4m - 2m^2 $；(2)$ m^2n - n^3 $；
(3)$ ma^2 + 2mab + mb^2 $；(4)$ (x^2 + 4)^2 - 16x^2 $.
(1)$ 4m - 2m^2 $；(2)$ m^2n - n^3 $；
(3)$ ma^2 + 2mab + mb^2 $；(4)$ (x^2 + 4)^2 - 16x^2 $.
答案
(1)
解：原式 $= 2m(2 - m)$；
(2)
解：原式 $= n(m^2 - n^2) = n(m + n)(m - n)$；
(3)
解：原式 $= m(a^2 + 2ab + b^2) = m(a + b)^2$；
(4)
解：原式 $= (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$。
解：原式 $= 2m(2 - m)$；
(2)
解：原式 $= n(m^2 - n^2) = n(m + n)(m - n)$；
(3)
解：原式 $= m(a^2 + 2ab + b^2) = m(a + b)^2$；
(4)
解：原式 $= (x^2 + 4 + 4x)(x^2 + 4 - 4x) = (x + 2)^2(x - 2)^2$。
11. 学习了公式$ a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2 $后,老师向同学们提出了如下将多项式$ x^2 + 4x + 3 $分解因式的方法：
$ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 - 1) = (x + 3)(x + 1) $.
请你运用上述方法将下列多项式分解因式：
(1)$ x^2 + 4x - 21 $；(2)$ m^2 + 8m + 15 $.
$ x^2 + 4x + 3 = x^2 + 4x + 4 - 1 = (x + 2)^2 - 1 = (x + 2 + 1)(x + 2 - 1) = (x + 3)(x + 1) $.
请你运用上述方法将下列多项式分解因式：
(1)$ x^2 + 4x - 21 $；(2)$ m^2 + 8m + 15 $.
答案
(1) $x^2 + 4x - 21$
$=x^2 + 4x + 4 - 25$
$=(x + 2)^2 - 5^2$
$=(x + 2 + 5)(x + 2 - 5)$
$=(x + 7)(x - 3)$
(2) $m^2 + 8m + 15$
$=m^2 + 8m + 16 - 1$
$=(m + 4)^2 - 1^2$
$=(m + 4 + 1)(m + 4 - 1)$
$=(m + 5)(m + 3)$
$=x^2 + 4x + 4 - 25$
$=(x + 2)^2 - 5^2$
$=(x + 2 + 5)(x + 2 - 5)$
$=(x + 7)(x - 3)$
(2) $m^2 + 8m + 15$
$=m^2 + 8m + 16 - 1$
$=(m + 4)^2 - 1^2$
$=(m + 4 + 1)(m + 4 - 1)$
$=(m + 5)(m + 3)$
