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8. 如图所示,已知AB⊥AC,AB= AC,AD= AE,BD= CE.求证：AD⊥AE.
答案
证明：
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°。
在△ABD和△ACE中，
AB=AC（已知），
AD=AE（已知），
BD=CE（已知），
∴△ABD≌△ACE（SSS）。
∴∠BAD=∠CAE（全等三角形对应角相等）。
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE。
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，即AD⊥AE。
∵AB⊥AC，
∴∠BAC=90°。
在△ABD和△ACE中，
AB=AC（已知），
AD=AE（已知），
BD=CE（已知），
∴△ABD≌△ACE（SSS）。
∴∠BAD=∠CAE（全等三角形对应角相等）。
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD，∠CAE=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAC=∠DAE。
∵∠BAC=90°，
∴∠DAE=90°，即AD⊥AE。
9. 如图所示,点E在△ABC外部,点D在边BC上,AB= AD,AC= AE,BC= DE.若∠1= 70°.则∠CDE的度数为
70°
.答案
【解析】：在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE=70°，∠ABC=∠ADE。设∠ABC=∠ADE=α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=α（等边对等角）。
∵点B，D，C在同一直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-α。
∵∠CDE=∠ADC-∠ADE，
∴∠CDE=（180°-α）-α=180°-2α。在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α，
∴∠CDE=∠BAD。
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=70°，
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE。又
∵∠BAD=180°-2α，
∴∠CDE=180°-2α。在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即70°+α+∠ACB=180°，∠ACB=110°-α。
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB=∠AED=110°-α。在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，即70°+α+（110°-α）=180°（恒成立）。综上，∠CDE=70°。
【答案】：70°
∵AB=AD，AC=AE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SSS），
∴∠BAC=∠DAE=70°，∠ABC=∠ADE。设∠ABC=∠ADE=α，
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB=α（等边对等角）。
∵点B，D，C在同一直线上，
∴∠ADB+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-α。
∵∠CDE=∠ADC-∠ADE，
∴∠CDE=（180°-α）-α=180°-2α。在△ABD中，∠BAD=180°-∠ABD-∠ADB=180°-2α，
∴∠CDE=∠BAD。
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=70°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=70°，
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE。又
∵∠BAD=180°-2α，
∴∠CDE=180°-2α。在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，即70°+α+∠ACB=180°，∠ACB=110°-α。
∵△ABC≌△ADE，
∴∠ACB=∠AED=110°-α。在△ADE中，∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，即70°+α+（110°-α）=180°（恒成立）。综上，∠CDE=70°。
【答案】：70°
解析
在△ABC和△ADE中，
$\begin{cases}AB = AD \\AC = AE \\BC = DE\end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE=70°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB
∵∠ADB + ∠ADE + ∠CDE = 180°，∠B + ∠ADB + ∠1 = 180°
又
∵∠B=∠ADE
∴∠ADB + ∠B + ∠CDE = 180°
∴∠CDE=∠1=70°
70°
$\begin{cases}AB = AD \\AC = AE \\BC = DE\end{cases}$
∴△ABC≌△ADE（SSS）
∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠ADE
∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，即∠1=∠CAE=70°
∵AB=AD
∴∠B=∠ADB
∵∠ADB + ∠ADE + ∠CDE = 180°，∠B + ∠ADB + ∠1 = 180°
又
∵∠B=∠ADE
∴∠ADB + ∠B + ∠CDE = 180°
∴∠CDE=∠1=70°
70°
10. 如图所示,已知AC,BD相交于点O,且AB= DC,AC= DB,求证：∠A= ∠D.
答案
证明：连接BC。
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB = DC \\AC = DB \\BC = CB\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
∴∠A = ∠D。
在△ABC和△DCB中，
$\begin{cases}AB = DC \\AC = DB \\BC = CB\end{cases}$
∴△ABC≌△DCB（SSS）。
∴∠A = ∠D。
11. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫作筝形,如图所示,四边形ABCD是一个筝形,其中AB= CB,AD= CD,猜想筝形的对角线AC与BD之间有什么位置关系,并证明你的猜想.
答案
猜想：AC⊥BD。
证明：在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABO和△CBO中，
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BO=BO，
∴△ABO≌△CBO（SAS），
∴∠AOB=∠COB。
∵∠AOB+∠COB=180°，
∴∠AOB=∠COB=90°，
∴AC⊥BD。
证明：在△ABD和△CBD中，
∵AB=CB，AD=CD，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD。
在△ABO和△CBO中，
∵AB=CB，∠ABD=∠CBD，BO=BO，
∴△ABO≌△CBO（SAS），
∴∠AOB=∠COB。
∵∠AOB+∠COB=180°，
∴∠AOB=∠COB=90°，
∴AC⊥BD。
12. 已知AB= AC,AD= AE,BD= CE,且B,D,E三点在同一条直线上.
(1)如图①所示,点B在线段DE上,求证：∠DAE= ∠BAC；
(2)如图②所示,点B在线段ED的延长线上,请写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系,并说明理由；
(3)如图③所示,若点B在线段DE的延长线上,请写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系,并说明理由.
(1)如图①所示,点B在线段DE上,求证：∠DAE= ∠BAC；
(2)如图②所示,点B在线段ED的延长线上,请写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系,并说明理由；
(3)如图③所示,若点B在线段DE的延长线上,请写出∠ADE与∠AEC之间的数量关系,并说明理由.
答案
(1)证明：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，即∠DAE=∠BAC．
(2)∠ADE+∠AEC=180°．
理由：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠ADB=∠AEC．
∵B，D，E三点共线，点B在ED延长线上，
∴∠ADE+∠ADB=180°(平角定义)．
∴∠ADE+∠AEC=180°．
(3)∠ADE=∠AEC．
理由：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠ADB=∠AEC．
∵B，D，E三点共线，点B在DE延长线上，
∴∠ADB=∠ADE(公共角)．
∴∠ADE=∠AEC．
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠BAD=∠CAE．
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC，∠DAE=∠DAC+∠CAE，
∴∠BAC=∠DAE，即∠DAE=∠BAC．
(2)∠ADE+∠AEC=180°．
理由：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠ADB=∠AEC．
∵B，D，E三点共线，点B在ED延长线上，
∴∠ADE+∠ADB=180°(平角定义)．
∴∠ADE+∠AEC=180°．
(3)∠ADE=∠AEC．
理由：在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，AD=AE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SSS)．
∴∠ADB=∠AEC．
∵B，D，E三点共线，点B在DE延长线上，
∴∠ADB=∠ADE(公共角)．
∴∠ADE=∠AEC．
