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[例题1]如图,AB是⊙0 的直径,CD为弦,CD⊥AB于点E,则下列结论中不成立的是(
A. ∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.BD= BC
思路导引 本题含垂径定理模型,由垂径定理可推知本题的答案.
答案:C.
A.∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.BD= BC
C
).A. ∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.BD= BC
思路导引 本题含垂径定理模型,由垂径定理可推知本题的答案.
答案:C.
A.∠COE= ∠DOE
B.CE= DE
C.OE= BE
D.BD= BC
答案
思路导引 本题含垂径定理模型,由垂径
定理可推知本题的答案.
答案:C.
定理可推知本题的答案.
答案:C.
[例题2]下图是一个水平放置的圆柱形
水管的横截面,其半径为13cm,水面宽AB=
24cm,则水管中的水深是多少？
水管的横截面,其半径为13cm,水面宽AB=
24cm,则水管中的水深是多少？
答案
思路导引 此题是与圆
有关的实际问题,先翻译成
几何语言:图中⊙0的半径
为13cm(0A= 13cm),水面
宽AB= 24cm(弦AB= 24cm),求水深. 下图
92中OC⊥AB,交AB于点D,则CD长为水深.
在解答与圆有关的计算题时,要想到垂径定
理,要想到由圆-心、弦的端点和弦的中点组成
的直角三角形.
解:如图,连接OA,过
点O作OD⊥AB于点C,交
AB于点D. 由题意可知,AB
=24cm,AC= CB= 12cm,
0A= 13 cm. 由勾股定理,得0C=
$\sqrt{OA^2-AC^2}$= $\sqrt{13^2-122}$= 5(cm).
CD= 0D-0C= 13-5= 8(cm).
水管中的水深是8cm.
拓展:本类题型若原题没有给出图形,则
还有另一个解,如下图所示.
解: 如图, 连接 OA.
OE⊥AB于点E, AE= EB
=12(cm). 0A= 13(cm),
OE = $\sqrt{OA2-AE2}$ =
$\sqrt{132-122}$= 5(cm). ED= 0E+OD= 5+13
=18(cm).故水管中的水深是18cm.
1.下列判断中,正确的是(
A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦
C.弦的中垂线必平分弦所对的两条弧
D.平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
C
).A.平分弦的直线垂直于弦
B.平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦
C.弦的中垂线必平分弦所对的两条弧
D.平分弦的直线必平分弦所对的两条弧
答案
【解析】：
本题主要考察的是对圆的性质的理解，特别是关于弦、弧和直径之间的关系。
A选项：平分弦的直线垂直于弦。这个判断是错误的。
根据圆的性质，平分弦（但不是直径）的直径垂直于弦，但题目中说的是“平分弦的直线”，并没有明确这条直线是否经过圆心，因此不能断定它垂直于弦。
B选项：平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦，这个判断也是错误的。
平分弧的直径必定平分这条弧所对的弦，但题目中说的是“平分弧的直线”，并没有明确这条直线是否经过圆心，因此不能断定它平分这条弧所对的弦。
C选项：弦的中垂线必平分弦所对的两条弧，这个判断是正确的。
根据圆的性质，弦的中垂线（即垂直于弦且平分弦的直线）必定经过圆心，因此它也将平分弦所对的两条弧。
D选项：平分弦的直线必平分弦所对的两条弧，这个判断是错误的。
与A选项类似，题目中并没有明确这条平分弦的直线是否经过圆心，因此不能断定它平分弦所对的两条弧。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C
本题主要考察的是对圆的性质的理解，特别是关于弦、弧和直径之间的关系。
A选项：平分弦的直线垂直于弦。这个判断是错误的。
根据圆的性质，平分弦（但不是直径）的直径垂直于弦，但题目中说的是“平分弦的直线”，并没有明确这条直线是否经过圆心，因此不能断定它垂直于弦。
B选项：平分弧的直线必定平分这条弧所对的弦，这个判断也是错误的。
平分弧的直径必定平分这条弧所对的弦，但题目中说的是“平分弧的直线”，并没有明确这条直线是否经过圆心，因此不能断定它平分这条弧所对的弦。
C选项：弦的中垂线必平分弦所对的两条弧，这个判断是正确的。
根据圆的性质，弦的中垂线（即垂直于弦且平分弦的直线）必定经过圆心，因此它也将平分弦所对的两条弧。
D选项：平分弦的直线必平分弦所对的两条弧，这个判断是错误的。
与A选项类似，题目中并没有明确这条平分弦的直线是否经过圆心，因此不能断定它平分弦所对的两条弧。
综上所述，只有C选项是正确的。
【答案】：
C
2.如图,如果AB为⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,那么下列结论中错误的是(
A.CE= DE
B.BC= BD
C.∠BAC= ∠BAD
D.AC＞AD
D
).A.CE= DE
B.BC= BD
C.∠BAC= ∠BAD
D.AC＞AD
答案
【解析】：本题可根据垂径定理及其推论来逐一分析选项。
垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
选项A
已知$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可得$CE = DE$，所以该选项正确。
选项B
因为$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
由垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”，可知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$BC = BD$，该选项正确。
选项C
由于$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，所以$\angle BAC = \angle BAD$，该选项正确。
选项D
由前面分析可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$AC = AD$，而不是$AC\gt AD$，该选项错误。
【答案】：D
垂径定理为：垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
选项A
已知$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可得$CE = DE$，所以该选项正确。
选项B
因为$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
由垂径定理“垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧”，可知$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$BC = BD$，该选项正确。
选项C
由于$AB$为$\odot O$的直径，弦$CD\perp AB$，垂足为$E$。
根据垂径定理可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$。
在同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等，所以$\angle BAC = \angle BAD$，该选项正确。
选项D
由前面分析可知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，在同圆或等圆中，等弧所对的弦相等，所以$AC = AD$，而不是$AC\gt AD$，该选项错误。
【答案】：D
3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB= 8,CD= 6,则BE=
4-√7
.答案
解：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴OC=OB=4，
∵CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=DE=3，∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，OE²+CE²=OC²，
即OE²+3²=4²，
解得OE=√7（负值舍去），
∵点E在OB上，
∴BE=OB-OE=4-√7。
4-√7
∵AB是⊙O的直径，AB=8，
∴OC=OB=4，
∵CD⊥AB于点E，CD=6，
∴CE=DE=3，∠OEC=90°，
在Rt△OEC中，OE²+CE²=OC²，
即OE²+3²=4²，
解得OE=√7（负值舍去），
∵点E在OB上，
∴BE=OB-OE=4-√7。
4-√7
4.某加工厂的顶棚的横截面是一段圆弧A)B,
如图. 已知AB= 16m,半径0A= 10m,
求高度CD.
如图. 已知AB= 16m,半径0A= 10m,
求高度CD.
答案
【解析】：本题可根据圆的性质，利用垂径定理和勾股定理来求解高度$CD$。
步骤一：根据垂径定理求出$AD$的长度
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$CD$垂直于弦$AB$，$AB = 16m$，由垂径定理可得$D$为$AB$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8m$。
步骤二：在$Rt\triangle AOD$中，利用勾股定理求出$OD$的长度
勾股定理是指在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA$为斜边，$OA = 10m$，$AD = 8m$，设$OD$为$x$，根据勾股定理可得$x^{2}+8^{2}=10^{2}$，即$x^{2}=10^{2}-8^{2}=100 - 64 = 36$，解得$x = 6m$（$x\gt0$，因为长度不能为负），所以$OD = 6m$。
步骤三：求出$CD$的长度
因为$OC = OA = 10m$，$CD = OC - OD$，所以$CD = 10 - 6 = 4m$。
【答案】：解：∵$CD$垂直于弦$AB$，$AB = 16m$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB = 8m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA = 10m$，$AD = 8m$，
由勾股定理可得$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m$。
∵$OC = OA = 10m$，
∴$CD = OC - OD = 10 - 6 = 4m$。
答：高度$CD$为$4m$。
步骤一：根据垂径定理求出$AD$的长度
垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。
已知$CD$垂直于弦$AB$，$AB = 16m$，由垂径定理可得$D$为$AB$中点，所以$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×16 = 8m$。
步骤二：在$Rt\triangle AOD$中，利用勾股定理求出$OD$的长度
勾股定理是指在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA$为斜边，$OA = 10m$，$AD = 8m$，设$OD$为$x$，根据勾股定理可得$x^{2}+8^{2}=10^{2}$，即$x^{2}=10^{2}-8^{2}=100 - 64 = 36$，解得$x = 6m$（$x\gt0$，因为长度不能为负），所以$OD = 6m$。
步骤三：求出$CD$的长度
因为$OC = OA = 10m$，$CD = OC - OD$，所以$CD = 10 - 6 = 4m$。
【答案】：解：∵$CD$垂直于弦$AB$，$AB = 16m$，
∴$AD=\frac{1}{2}AB = 8m$。
在$Rt\triangle AOD$中，$OA = 10m$，$AD = 8m$，
由勾股定理可得$OD=\sqrt{OA^{2}-AD^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6m$。
∵$OC = OA = 10m$，
∴$CD = OC - OD = 10 - 6 = 4m$。
答：高度$CD$为$4m$。
