1. 在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为$x(0 ＜ x ＜ 1)$的小正方形,如果设剩余部分的面积为$y$,那么$y关于x$的函数解析式为().
A.$y = x^{2}$
B.$y = 1 - x^{2}$
C.$y = x^{2} - 1$
D.$y = 1 - 2x$

【解析】：
题目要求在一个边长为1的正方形中挖去一个边长为$x$的小正方形后，剩余部分的面积$y$关于$x$的函数解析式。
首先，我们知道正方形的面积是边长的平方，所以边长为1的正方形的面积是$1^2 = 1$。
被挖去的小正方形的面积是$x^2$。
剩余部分的面积$y$就是原正方形的面积减去被挖去的小正方形的面积，即$y = 1 - x^2$。
对比选项，我们发现这与选项B相符。
【答案】：
B

2. 若$y = (m - 4)x^{2} - 5x + 3是关于x$的二次函数,则$m$的取值范围为().
A.$m \neq 0$
B.$m ＞ 4$
C.$m ＜ 4$
D.$m \neq 4$

【解析】：
题目考察二次函数的定义。二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a\neq 0$。
对于给定的函数$y=(m-4)x^2-5x+3$，要使其为二次函数，必须满足$m-4\neq 0$。
解这个不等式，得到$m\neq 4$。
【答案】：
D.$m\neq 4$。

3. 一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一条直角边长为$x$ cm,三角形的面积为$y$ $cm^{2}$,则$y关于x$的函数解析式为().
A.$y = 10x$
B.$y = x(20 - x)$
C.$y = \frac{1}{2}x(20 - x)$
D.$y = x(10 - x)$

解：因为直角三角形的两条直角边长的和为20 cm，其中一条直角边长为$x$ cm，所以另一条直角边长为$(20 - x)$ cm。
根据直角三角形面积公式，面积$y = \frac{1}{2}×$一条直角边×另一条直角边，可得：
$y = \frac{1}{2}x(20 - x)$
答案：C

4. 函数$y = (m - 2)x^{2} + mx - 3(m$为常数).
(1) 当$m$时,该函数为二次函数.
(2) 当$m$时,该函数为一次函数.

【解析】：
本题主要考察二次函数和一次函数的定义。
(1) 对于二次函数，其一般形式为$y = ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$。
因此，我们需要找到满足$m - 2 \neq 0$的$m$值。
解这个不等式，我们得到$m \neq 2$。
(2) 对于一次函数，其一般形式为$y = kx + b$，其中$k \neq 0$。
若函数$y = (m - 2)x^{2} + mx - 3$为一次函数，则其二次项系数必须为0，即$m - 2 = 0$，同时一次项系数$m$不能为0（否则函数将退化为常数函数）。
解这个方程和不等式，我们得到$m = 2$且$m \neq 0$（实际上这里$m \neq 0$是多余的，因为$m=2$已经满足条件）。
但由于题目只问$m$的取值，所以我们只需写出$m = 2$。
【答案】：
(1) $m \neq 2$
(2) $m = 2$

5. 某模具厂计划为一批长方体形状的模具涂上油漆,长方体模具的长和宽相等,高比长多0.5 m.
(1) 长方体模具的长用$x$(单位：m)表示,长方体模具需要涂漆的表面积用$S$(单位：$m^{2}$)表示,$S与x$之间的关系应怎样表示？
(2) 如果涂漆的费用是每平方米5元,那么给一个长方体模具涂漆所需要的费用$y$(单位：元)如何表示？

(1) 解：因为长方体模具的长为 $ x $ m，长和宽相等，所以宽为 $ x $ m，高比长多 0.5 m，则高为 $ (x + 0.5) $ m。
长方体表面积 $ S = 2(长×宽 + 长×高 + 宽×高) $，代入得：
$ S = 2[x·x + x·(x + 0.5) + x·(x + 0.5)] $
$ = 2[x^2 + x(x + 0.5) + x(x + 0.5)] $
$ = 2[x^2 + 2x(x + 0.5)] $
$ = 2[x^2 + 2x^2 + x] $
$ = 2[3x^2 + x] $
$ = 6x^2 + 2x $
(2) 解：因为涂漆费用是每平方米 5 元，费用 $ y = 5×S $，由(1)知 $ S = 6x^2 + 2x $，所以：
$ y = 5(6x^2 + 2x) = 30x^2 + 10x $

6. 若函数$y = (k - 1)x^{k^{2} - 3k + 4} + 2x - 1$是二次函数.
(1) 求$k$的值.
(2) 当$x = 0.5$时,求$y$的值.

(1) 解：因为函数$y=(k - 1)x^{k^{2} - 3k + 4} + 2x - 1$是二次函数，所以需满足：
$\begin{cases}k^{2}-3k + 4=2\\k - 1\neq0\end{cases}$
由$k^{2}-3k + 4=2$，得$k^{2}-3k + 2=0$，即$(k - 1)(k - 2)=0$，解得$k=1$或$k=2$。
又因为$k - 1\neq0$，所以$k\neq1$，故$k=2$。
(2) 解：由(1)知$k=2$，则函数为$y=(2 - 1)x^{2} + 2x - 1=x^{2}+2x - 1$。
当$x = 0.5$时，$y=(0.5)^{2}+2×0.5 - 1=0.25 + 1 - 1=0.25$。

7. 如图,圆柱的高为10 cm,圆柱的底面圆的直径为$x$ cm,圆柱的表面积为$S$ $cm^{2}$.
(1) 求圆柱的表面积$S与圆柱的底面圆的直径x$之间的函数解析式,并判断这个函数是否为二次函数.
(2) 当圆柱的底面圆的直径从4 cm增加到10 cm时,圆柱的表面积增加了多少(最后结果保留$\pi$)？

【解析】：
本题可根据圆柱表面积公式求出函数解析式，再根据二次函数的定义判断函数类型，最后通过代入不同直径的值求出表面积的增加量。
（1）求圆柱的表面积$S$与圆柱的底面圆的直径$x$之间的函数解析式，并判断这个函数是否为二次函数。
步骤一：明确圆柱表面积公式
圆柱的表面积$S$由两个底面圆的面积和侧面展开矩形的面积组成。
底面圆的面积公式为$S_{底}=\pi r^2$（其中$r$为底面圆半径），侧面展开矩形的面积公式为$S_{侧}=Ch$（其中$C$为底面圆的周长，$h$为圆柱的高）。
步骤二：分别计算底面圆面积和侧面展开矩形面积
已知圆柱底面圆的直径为$x$ cm，则半径$r = \frac{x}{2}$ cm，高$h = 10$ cm。
两个底面圆的面积：$2S_{底}=2×\pi×(\frac{x}{2})^2=\frac{\pi x^2}{2}$。
侧面展开矩形的面积：底面圆的周长$C = \pi x$，所以$S_{侧}=\pi x×10 = 10\pi x$。
步骤三：求出圆柱表面积$S$与底面圆直径$x$的函数解析式
圆柱的表面积$S = 2S_{底}+S_{侧}=\frac{\pi x^2}{2}+10\pi x$，即$S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 10\pi x$。
步骤四：判断函数是否为二次函数
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），在函数$S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 10\pi x$中，$a = \frac{1}{2}\pi\neq0$，$b = 10\pi$，$c = 0$，符合二次函数的定义，所以这个函数是二次函数。
（2）当圆柱的底面圆的直径从$4$ cm增加到$10$ cm时，求圆柱的表面积增加了多少。
步骤一：分别计算直径为$4$ cm和$10$ cm时圆柱的表面积
当$x = 4$时，代入$S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 10\pi x$可得：
$S_1=\frac{1}{2}\pi×4^2 + 10\pi×4=\frac{1}{2}\pi×16 + 40\pi = 8\pi + 40\pi = 48\pi$。
当$x = 10$时，代入$S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 10\pi x$可得：
$S_2=\frac{1}{2}\pi×10^2 + 10\pi×10=\frac{1}{2}\pi×100 + 100\pi = 50\pi + 100\pi = 150\pi$。
步骤二：计算表面积的增加量
表面积增加的值为$S_2 - S_1 = 150\pi - 48\pi = 102\pi$。
【答案】：
(1) $S=\frac{1}{2}\pi x^2 + 10\pi x$，这个函数是二次函数。
(2) $102\pi$ $cm^{2}$。