19. (8 分)在△ABC 中,AB = AC,AD⊥BC,垂足为点 D,∠BAD = 40°,AD = AE,求∠CDE 的度数.

20°

∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一），∠ADC=90°。
∵∠BAD=40°，∴∠DAC=∠BAD=40°。
∵AD=AE，∴△ADE为等腰三角形，∠ADE=∠AED。
在△ADE中，∠DAE=40°，∴∠ADE=(180°-∠DAE)/2=(180°-40°)/2=70°。
∵∠ADC=90°，∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°。

20. (8 分)已知 AB = AC,BD = DC,AE 平分∠FAB.问:AE 与 AD 是否垂直? 为什么?

AE与AD垂直。理由如下：
1. ∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB（等边对等角）。
2. ∵BD=DC，∴D为BC中点，由等腰三角形三线合一，AD平分∠BAC，故∠BAD=∠BAC/2。
3. 设∠ABC=∠ACB=y，则∠BAC=180°-2y（三角形内角和），∴∠BAD=(180°-2y)/2=90°-y。
4. ∵AE平分∠FAB，设∠FAB=2x，则∠EAB=x。
5. ∠FAB是△ABC的外角，∴∠FAB=∠ABC+∠ACB=2y（三角形外角等于不相邻两内角和），∴x=y，即∠EAB=y。
6. ∴∠EAD=∠EAB+∠BAD=y+(90°-y)=90°。
7. ∴AE⊥AD。
结论：AE与AD垂直。