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1. 如图,关于 $ x $ 的不等式的解是
x＜2
.答案
x＜2
解析
观察数轴，折线从2出发向左，2处为空心点，故不等式的解是x＜2。
2. 不等式 $ 2 - \frac{x}{2} ＞ 0 $ 的自然数解是
0，1，2，3
.答案
$0，1，2，3$
解析
首先对不等式 $2 - \frac{x}{2} ＞ 0$ 进行变形与简化，移项得到：
$-\frac{x}{2} ＞ -2$，
两边同时乘以$-2$（注意不等式方向改变）：
$x ＜ 4$，
根据自然数的定义，自然数包括 $0, 1, 2, 3, ...$，
因此满足 $x ＜ 4$ 的自然数解为 $0, 1, 2, 3$。
$-\frac{x}{2} ＞ -2$，
两边同时乘以$-2$（注意不等式方向改变）：
$x ＜ 4$，
根据自然数的定义，自然数包括 $0, 1, 2, 3, ...$，
因此满足 $x ＜ 4$ 的自然数解为 $0, 1, 2, 3$。
3. 不等式 $ (a - 1)x + 3 ＜ 6 $ 的解为 $ x ＞ -1 $,则 $ a = $
-2
.答案
-2
解析
由$(a - 1)x + 3 ＜ 6$，移项得$(a - 1)x ＜ 3$。
∵不等式的解为$x ＞ -1$，∴$a - 1 ＜ 0$，两边同除以$a - 1$得$x ＞ \frac{3}{a - 1}$。
则$\frac{3}{a - 1} = -1$，解得$a - 1 = -3$，$a = -2$。
∵不等式的解为$x ＞ -1$，∴$a - 1 ＜ 0$，两边同除以$a - 1$得$x ＞ \frac{3}{a - 1}$。
则$\frac{3}{a - 1} = -1$，解得$a - 1 = -3$，$a = -2$。
4. 三角形的三条边长为 $ 5 $,$ 1 - 2a $,$ 7 $,则 $ a $ 的取值范围是
$-\frac{11}{2} ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
.答案
$-\frac{11}{2} ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
解析
根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
可得：$7 - 5 ＜ 1 - 2a ＜ 7 + 5$
即：$2 ＜ 1 - 2a ＜ 12$
先解左边不等式：$2 ＜ 1 - 2a$，移项得$2a ＜ 1 - 2$，$2a ＜ -1$，$a ＜ -\frac{1}{2}$
再解右边不等式：$1 - 2a ＜ 12$，移项得$-2a ＜ 12 - 1$，$-2a ＜ 11$，$a ＞ -\frac{11}{2}$
综上，$-\frac{11}{2} ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
可得：$7 - 5 ＜ 1 - 2a ＜ 7 + 5$
即：$2 ＜ 1 - 2a ＜ 12$
先解左边不等式：$2 ＜ 1 - 2a$，移项得$2a ＜ 1 - 2$，$2a ＜ -1$，$a ＜ -\frac{1}{2}$
再解右边不等式：$1 - 2a ＜ 12$，移项得$-2a ＜ 12 - 1$，$-2a ＜ 11$，$a ＞ -\frac{11}{2}$
综上，$-\frac{11}{2} ＜ a ＜ -\frac{1}{2}$
5. 如果 $ a ＜ b ＜ 0 $,那么下列结论中错误的是(
A.$ a - 9 ＜ b - 9 $
B.$ -a ＞ -b $
C.$ \frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a} $
D.$ \frac{a}{b} ＞ 1 $
C
)A.$ a - 9 ＜ b - 9 $
B.$ -a ＞ -b $
C.$ \frac{1}{b} ＞ \frac{1}{a} $
D.$ \frac{a}{b} ＞ 1 $
答案
C
解析
A. 对于 $a - 9 \lt b - 9$，
由于 $a \lt b$，根据不等式的基本性质，两边同时减9，不等号方向不变，所以 $a - 9 \lt b - 9$ 成立，A选项正确。
B. 对于 $-a \gt -b$，
由于 $a \lt b$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以-1，不等号方向改变，所以 $-a \gt -b$ 成立，B选项正确。
C. 对于 $\frac{1}{b} \gt \frac{1}{a}$，
由于 $a \lt b \lt 0$，则ab为同号负数，取倒数后不等号方向会改变，即$\frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}$ ，所以 $\frac{1}{b} \lt \frac{1}{a}$，C选项错误（题目要求选错误的）。
D. 对于 $\frac{a}{b} \gt 1$，
由于 $a \lt b \lt 0$，则 $\frac{a}{b} \gt 1$（因为两个负数相除，结果为正，且当绝对值大的负数除以绝对值小的负数时，结果大于1），所以D选项正确。
综上所述，错误的选项是C。
由于 $a \lt b$，根据不等式的基本性质，两边同时减9，不等号方向不变，所以 $a - 9 \lt b - 9$ 成立，A选项正确。
B. 对于 $-a \gt -b$，
由于 $a \lt b$，根据不等式的基本性质，两边同时乘以-1，不等号方向改变，所以 $-a \gt -b$ 成立，B选项正确。
C. 对于 $\frac{1}{b} \gt \frac{1}{a}$，
由于 $a \lt b \lt 0$，则ab为同号负数，取倒数后不等号方向会改变，即$\frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}$ ，所以 $\frac{1}{b} \lt \frac{1}{a}$，C选项错误（题目要求选错误的）。
D. 对于 $\frac{a}{b} \gt 1$，
由于 $a \lt b \lt 0$，则 $\frac{a}{b} \gt 1$（因为两个负数相除，结果为正，且当绝对值大的负数除以绝对值小的负数时，结果大于1），所以D选项正确。
综上所述，错误的选项是C。
6. 已知 $ (a - 1)x ＞ a - 1 $ 的解是 $ x ＜ 1 $,则 $ a $ 的取值范围是(
A.$ a ＞ 1 $
B.$ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ 2 $
D.$ a ＜ 2 $
B
)A.$ a ＞ 1 $
B.$ a ＜ 1 $
C.$ a ＞ 2 $
D.$ a ＜ 2 $
答案
B
解析
因为不等式$(a - 1)x ＞ a - 1$的解是$x ＜ 1$，根据不等式的性质，不等式两边同时除以一个负数，不等号方向改变，所以$a - 1＜0$，即$a＜1$。
7. 解不等式：$ \frac{x}{3} ＜ 1 - \frac{x + 3}{6} $,并把它的解集在数轴上表示出来.
答案
1. 去分母，给不等式两边同时乘以6：
$6×\frac{x}{3}＜6×(1 - \frac{x + 3}{6})$
$2x＜6-(x + 3)$
2. 去括号：
$2x＜6 - x - 3$
3. 移项：
$2x+x＜6 - 3$
4. 合并同类项：
$3x＜3$
5. 系数化为1：
$x ＜ 1$
在数轴上表示：画数轴，找到1这个点，用空心圆圈表示（因为不含1），然后向左画一条线表示$x＜1$的范围。
$6×\frac{x}{3}＜6×(1 - \frac{x + 3}{6})$
$2x＜6-(x + 3)$
2. 去括号：
$2x＜6 - x - 3$
3. 移项：
$2x+x＜6 - 3$
4. 合并同类项：
$3x＜3$
5. 系数化为1：
$x ＜ 1$
在数轴上表示：画数轴，找到1这个点，用空心圆圈表示（因为不含1），然后向左画一条线表示$x＜1$的范围。
8. 解不等式组：$ \begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x, \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x. \end{cases} $
答案
解不等式组：
$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x, \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x. \end{cases}$
解不等式①：
$\frac{x - 3}{2} + 3 \geq x$
两边同乘2：
$x - 3 + 6 \geq 2x$
化简：
$x + 3 \geq 2x$
移项：
$3 \geq x \quad 即 \quad x \leq 3$
解不等式②：
$1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x$
去括号：
$1 - 3x + 3 ＜ 8 - x$
化简：
$4 - 3x ＜ 8 - x$
移项：
$-3x + x ＜ 8 - 4$
合并同类项：
$-2x ＜ 4$
两边同除以-2（不等号变向）：
$x ＞ -2$
综上，不等式组的解集为：
$-2 ＜ x \leq 3$
$\begin{cases} \frac{x - 3}{2} + 3 \geq x, \\ 1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x. \end{cases}$
解不等式①：
$\frac{x - 3}{2} + 3 \geq x$
两边同乘2：
$x - 3 + 6 \geq 2x$
化简：
$x + 3 \geq 2x$
移项：
$3 \geq x \quad 即 \quad x \leq 3$
解不等式②：
$1 - 3(x - 1) ＜ 8 - x$
去括号：
$1 - 3x + 3 ＜ 8 - x$
化简：
$4 - 3x ＜ 8 - x$
移项：
$-3x + x ＜ 8 - 4$
合并同类项：
$-2x ＜ 4$
两边同除以-2（不等号变向）：
$x ＞ -2$
综上，不等式组的解集为：
$-2 ＜ x \leq 3$
9. 求不等式组 $ \begin{cases} 2(x + 1) \leq 14 - 3x, \\ 5x - 2 ＜ 3(x + 2) \end{cases} $ 的非负整数解.
答案
$0, 1, 2$
解析
解不等式组：
$\begin{cases}2(x + 1) \leq 14 - 3x, \\5x - 2 ＜ 3(x + 2)\end{cases}$
解第一个不等式：
$2(x + 1) \leq 14 - 3x$
$2x + 2 \leq 14 - 3x$
$2x + 3x \leq 14 - 2$
$5x \leq 12$
$x \leq \frac{12}{5} = 2.4$
解第二个不等式：
$5x - 2 ＜ 3(x + 2)$
$5x - 2 ＜ 3x + 6$
$5x - 3x ＜ 6 + 2$
$2x ＜ 8$
$x ＜ 4$
不等式组的解集为 $x \leq 2.4$。
非负整数解为 $0, 1, 2$。
$\begin{cases}2(x + 1) \leq 14 - 3x, \\5x - 2 ＜ 3(x + 2)\end{cases}$
解第一个不等式：
$2(x + 1) \leq 14 - 3x$
$2x + 2 \leq 14 - 3x$
$2x + 3x \leq 14 - 2$
$5x \leq 12$
$x \leq \frac{12}{5} = 2.4$
解第二个不等式：
$5x - 2 ＜ 3(x + 2)$
$5x - 2 ＜ 3x + 6$
$5x - 3x ＜ 6 + 2$
$2x ＜ 8$
$x ＜ 4$
不等式组的解集为 $x \leq 2.4$。
非负整数解为 $0, 1, 2$。
10. 若 $ |4 - 2m| = 2m - 4 $,那么 $ m $ 的取值范围是(
A. $ m \geq 2 $
B. $ m \leq 2 $
C. $ m ＞ 2 $
C. $ m = 2 $
A
)A. $ m \geq 2 $
B. $ m \leq 2 $
C. $ m ＞ 2 $
C. $ m = 2 $
答案
A
解析
根据绝对值的性质，若 $|a| = b$，则有两种情况：$a = b$ 或 $a = -b$。
对于 $|4 - 2m| = 2m - 4$，需要注意到 $2m - 4$ 必须是非负的，即 $2m - 4 \geq 0$，从而得出 $m \geq 2$。
同时，当 $4 - 2m \leq 0$ 时，绝对值 $|4 - 2m|$ 就等于 $2m - 4$。
综合以上分析，得出 $m \geq 2$。
对于 $|4 - 2m| = 2m - 4$，需要注意到 $2m - 4$ 必须是非负的，即 $2m - 4 \geq 0$，从而得出 $m \geq 2$。
同时，当 $4 - 2m \leq 0$ 时，绝对值 $|4 - 2m|$ 就等于 $2m - 4$。
综合以上分析，得出 $m \geq 2$。
