6. 如图,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象开口向上,对称轴为直线 $ x = 1 $,图象经过点$(3,0)$,下列结论中,正确的一项是()


A.$ abc ＜ 0 $
B.$ 2a + b ＜ 0 $
C.$ a - b + c = 0 $
D.$ a + b + c ＞ 0 $

C

∵抛物线开口向上，∴a＞0；对称轴为x=1，即$-b/(2a)=1$，∴b=-2a＜0；抛物线过点(3,0)，由对称性知另一交点为(-1,0)，即x=-1时y=0，代入得a - b + c=0。
A. a＞0，b=-2a＜0，c=-3a＜0（由交点式展开得c=-3a），abc＞0，错误；
B. 2a + b=2a - 2a=0，错误；
C. x=-1时y=0，即a - b + c=0，正确；
D. x=1时y=a + b + c，顶点在x轴下方，y＜0，错误。

▲7. 若一次函数 $ y = ax + b $ 的图象经过第二、三、四象限,则二次函数 $ y = ax^{2} + bx $ 的图象只可能是()

C

一次函数$y=ax+b$过第二、三、四象限，得$a＜0$，$b＜0$。二次函数$y=ax^2+bx$，$a＜0$开口向下，对称轴$x=-\frac{b}{2a}＜0$（在y轴左侧），与x轴交点为$(0,0)$和$(-\frac{b}{a},0)$，因$a＜0$，$b＜0$，$-\frac{b}{a}＜0$，故两交点均在x轴负半轴。符合条件的为选项C。

8. 二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 中,$ a ＞ 0,b ＜ 0,c ＜ 0 $,则其图象的顶点是在第象限.

四

对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c$，其顶点的横坐标为$x=-\frac{b}{2a}$，纵坐标为$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}$。
已知$a\gt0$，$b\lt0$，则$x = -\frac{b}{2a}\gt0$。
又因为$a\gt0$，$c\lt0$，所以$4ac\lt0$，则$4ac - b^{2}\lt0$，那么$y=\frac{4ac - b^{2}}{4a}\lt0$。
横坐标$x\gt0$，纵坐标$y\lt0$的点在第四象限。

9. 抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^{2} - 2x - 5 $ 关于 $ y $ 轴对称的抛物线的函数表达式为.

$y = \frac{1}{3}x^{2}+2x - 5$

设原抛物线上任意一点$P(x,y)$，则点$P$关于$y$轴的对称点$P'(-x,y)$在对称抛物线上。
因为$y = \frac{1}{3}x^{2}-2x - 5$，把$x$换为$-x$可得对称抛物线的函数表达式：
$y=\frac{1}{3}(-x)^{2}-2(-x)-5=\frac{1}{3}x^{2}+2x - 5$

10. 若二次函数的图象对称轴是直线 $ x = \frac{3}{2} $,并且图象过 $ A(0,-4) $ 和 $ B(4,0) $.
(1) 求此二次函数图象上点 $ A $ 关于对称轴 $ x = \frac{3}{2} $ 对称的点 $ A' $ 的坐标.
(2) 求此二次函数的表达式.
(3) 画出这个二次函数的图象.

(1)设点$A$关于对称轴$x = \frac{3}{2}$的对称点为$A^{\prime}(x,y)$。
由于点$A$和点$A^{\prime}$关于对称轴对称，所以它们的纵坐标相同，即$y = -4$。
点$A$和点$A^{\prime}$到对称轴的距离相等，所以$\frac{0 + x}{2} = \frac{3}{2}$，解得$x = 3$。
因此，点$A^{\prime}$的坐标为$(3, -4)$。
(2)设二次函数的表达式为$y = ax^{2} + bx + c$。
由于对称轴是$x = \frac{3}{2}$，所以$-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}$。
又因为函数图象过点$A(0, -4)$，所以$c = -4$。
将点$B(4, 0)$代入函数表达式，得到$16a + 4b - 4 = 0$。
解这个方程组：
$\begin{cases}-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}, \\16a + 4b - 4 = 0.\end{cases}$
得到$a = \frac{1}{2}$，$b = -\frac{3}{2}$。
因此，二次函数的表达式为$y = \frac{1}{2}x^{2} - \frac{3}{2}x - 4$。
(3)此题要求画出二次函数的图象，由于这是一个实际的绘图操作，无法用文字描述，故说明关键点：
列表：选取几个$x$值，计算出对应的$y$值，列出表格。
描点：在坐标系中描出这些点。
连线：用平滑的曲线连接这些点，得到二次函数的图象。
（图像为开口向上的抛物线，与y轴交点（0，-4），与x轴交点（-2，0），（4，0）等，顶点为（1.5，-6.125）在答题卡画出即可）