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5. 下面计算正确的是(
A.$2x^{2}-x^{2}= 1$
B.$4a^{2}+2a^{3}= 6a^{5}$
C.$5 + m = 5m$
D.$-0.25ab + \dfrac{1}{4}ab = 0$
D
)A.$2x^{2}-x^{2}= 1$
B.$4a^{2}+2a^{3}= 6a^{5}$
C.$5 + m = 5m$
D.$-0.25ab + \dfrac{1}{4}ab = 0$
答案
D
解析
A. $2x^{2} - x^{2} = x^{2} \neq 1$，错误；
B. $4a^{2}$ 与 $2a^{3}$ 不是同类项，不能合并，错误；
C. $5$ 与 $m$ 不是同类项，不能合并，错误；
D. $-0.25ab + \dfrac{1}{4}ab = -0.25ab + 0.25ab = 0$，正确。
B. $4a^{2}$ 与 $2a^{3}$ 不是同类项，不能合并，错误；
C. $5$ 与 $m$ 不是同类项，不能合并，错误；
D. $-0.25ab + \dfrac{1}{4}ab = -0.25ab + 0.25ab = 0$，正确。
6. 将一些相同的“$◯$”按如图所示的规律依次摆放成“龟图”,观察每个“龟图”中“$◯$”的个数,则第 $10$ 个“龟图”中“$◯$”的个数是(
A.$45$
B.$90$
C.$95$
D.$110$
C
)A.$45$
B.$90$
C.$95$
D.$110$
答案
C
解析
观察“龟图”规律，设第n个龟图中“◯”的个数为aₙ。通过归纳前几个图形数量：
n=1时，a₁=5；
n=2时，a₂=7（比前一个多2）；
n=3时，a₃=11（比前一个多4）；
n=4时，a₄=17（比前一个多6）；
差依次为2,4,6,...，即差为2(n-1)。
累加得：aₙ=5 + 2(1+2+...+(n-1))=5 + 2×[(n-1)n/2]=n² -n +5。
当n=10时，a₁₀=10² -10 +5=95。
n=1时，a₁=5；
n=2时，a₂=7（比前一个多2）；
n=3时，a₃=11（比前一个多4）；
n=4时，a₄=17（比前一个多6）；
差依次为2,4,6,...，即差为2(n-1)。
累加得：aₙ=5 + 2(1+2+...+(n-1))=5 + 2×[(n-1)n/2]=n² -n +5。
当n=10时，a₁₀=10² -10 +5=95。
7. (1)某超市的苹果价格如图所示,试说明代数式 $50 - 7.9x$ 的实际意义：
(2)仿照上题,请你给 $4m + 7n$ 设计一个实际意义：
用50元买每斤7.9元的苹果x斤后剩余的钱数
；(2)仿照上题,请你给 $4m + 7n$ 设计一个实际意义：
一支笔m元，一个笔记本n元，买4支笔和7个笔记本的总价钱
。答案
(1)用50元买每斤7.9元的苹果x斤后剩余的钱数；
(2)一支笔m元，一个笔记本n元，买4支笔和7个笔记本的总价钱。
(2)一支笔m元，一个笔记本n元，买4支笔和7个笔记本的总价钱。
8. 朵朵披萨屋的公告：因近期食材成本提高,即日起披萨售价均调涨 $10\%$,且会员结账优惠从打八五折调整为打九折。若一个披萨调涨前的售价为 $x$ 元,则会员购买一个披萨的花费,调涨后比调涨前多花
0.14x
元。答案
$0.14x$
解析
调涨前会员花费：$0.85x$元
调涨后售价：$x(1 + 10\%) = 1.1x$元
调涨后会员花费：$1.1x × 0.9 = 0.99x$元
调涨后比调涨前多花：$0.99x - 0.85x = 0.14x$元
调涨后售价：$x(1 + 10\%) = 1.1x$元
调涨后会员花费：$1.1x × 0.9 = 0.99x$元
调涨后比调涨前多花：$0.99x - 0.85x = 0.14x$元
9. 观察下列算式：$1^{2}= \dfrac{1×2×3}{6}$,$1^{2}+2^{2}= \dfrac{2×3×5}{6}$,$1^{2}+2^{2}+3^{2}= \dfrac{3×4×7}{6}$,$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}= \dfrac{4×5×9}{6}$,…$$ 请用字母表示数,将你发现的一般规律用一个等式表示出来：
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
。答案
$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
解析
观察算式可知：
当有1项时，$1^{2}=\dfrac{1×2×3}{6}$，其中$1$为项数，$2=1+1$，$3=2×1+1$；
当有2项时，$1^{2}+2^{2}=\dfrac{2×3×5}{6}$，其中$2$为项数，$3=2+1$，$5=2×2+1$；
当有3项时，$1^{2}+2^{2}+3^{2}=\dfrac{3×4×7}{6}$，其中$3$为项数，$4=3+1$，$7=2×3+1$；
当有4项时，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\dfrac{4×5×9}{6}$，其中$4$为项数，$5=4+1$，$9=2×4+1$。
一般规律为：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（$n$为正整数）
当有1项时，$1^{2}=\dfrac{1×2×3}{6}$，其中$1$为项数，$2=1+1$，$3=2×1+1$；
当有2项时，$1^{2}+2^{2}=\dfrac{2×3×5}{6}$，其中$2$为项数，$3=2+1$，$5=2×2+1$；
当有3项时，$1^{2}+2^{2}+3^{2}=\dfrac{3×4×7}{6}$，其中$3$为项数，$4=3+1$，$7=2×3+1$；
当有4项时，$1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=\dfrac{4×5×9}{6}$，其中$4$为项数，$5=4+1$，$9=2×4+1$。
一般规律为：$1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$（$n$为正整数）
10. (1)化简：$5a^{2}b - 2(a^{2}b - 2ab^{2}) - 3(2ab^{2}-a^{2}b)$；
(2)先化简,再求值：$2x - 3\left(x - \dfrac{1}{3}y^{2}\right)+2\left(-\dfrac{1}{2}x + y^{2}\right)$,其中 $x = 3$,$y = -2$。
(2)先化简,再求值：$2x - 3\left(x - \dfrac{1}{3}y^{2}\right)+2\left(-\dfrac{1}{2}x + y^{2}\right)$,其中 $x = 3$,$y = -2$。
答案
(1)
$5a^{2}b - 2(a^{2}b - 2ab^{2}) - 3(2ab^{2}-a^{2}b)$
$=5a^{2}b - 2a^{2}b + 4ab^{2} - 6ab^{2}+3a^{2}b$
$=(5a^{2}b - 2a^{2}b+3a^{2}b)+(4ab^{2} - 6ab^{2})$
$=6a^{2}b - 2ab^{2}$
(2)
$2x - 3(x - \frac{1}{3}y^{2})+2(-\frac{1}{2}x + y^{2})$
$=2x - 3x + y^{2}-x + 2y^{2}$
$=(2x - 3x-x)+(y^{2}+ 2y^{2})$
$=-2x + 3y^{2}$
当$x = 3$，$y = -2$时，
$-2x + 3y^{2}=-2×3 + 3×(-2)^{2}$
$=-6 + 3×4$
$=-6 + 12$
$=6$
$5a^{2}b - 2(a^{2}b - 2ab^{2}) - 3(2ab^{2}-a^{2}b)$
$=5a^{2}b - 2a^{2}b + 4ab^{2} - 6ab^{2}+3a^{2}b$
$=(5a^{2}b - 2a^{2}b+3a^{2}b)+(4ab^{2} - 6ab^{2})$
$=6a^{2}b - 2ab^{2}$
(2)
$2x - 3(x - \frac{1}{3}y^{2})+2(-\frac{1}{2}x + y^{2})$
$=2x - 3x + y^{2}-x + 2y^{2}$
$=(2x - 3x-x)+(y^{2}+ 2y^{2})$
$=-2x + 3y^{2}$
当$x = 3$，$y = -2$时，
$-2x + 3y^{2}=-2×3 + 3×(-2)^{2}$
$=-6 + 3×4$
$=-6 + 12$
$=6$
