20. （8 分）已知反比例函数 $ y = \frac{k}{x} $ 的图象经过点 $ (-3, -2) $.
（1）求该反比例函数的表达式；
（2）在平面直角坐标系 $ xOy $ 中，一次函数 $ y = x - 1 $ 的图象与该反比例函数的图象交于点 $ A $，$ B $，求 $ \triangle AOB $ 的面积.

（1）$y = \frac{6}{x}$；（2）$\frac{5}{2}$。

（1）将点$(-3, -2)$代入$y = \frac{k}{x}$，得$-2 = \frac{k}{-3}$，解得$k = 6$，故反比例函数表达式为$y = \frac{6}{x}$。
（2）联立$\begin{cases}y = x - 1 \\ y = \frac{6}{x}\end{cases}$，得$x - 1 = \frac{6}{x}$，整理得$x^2 - x - 6 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = -2$。
当$x = 3$时，$y = 2$；当$x = -2$时，$y = -3$，故交点$A(3, 2)$，$B(-2, -3)$。
一次函数$y = x - 1$与$x$轴交于点$C(1, 0)$，则$OC = 1$。
$S_{\triangle AOB} = S_{\triangle AOC} + S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} × 1 × |2| + \frac{1}{2} × 1 × |-3| = \frac{1}{2} × 2 + \frac{1}{2} × 3 = \frac{5}{2}$。

21. （12 分）如图，$ A $，$ B $ 是双曲线 $ y = \frac{k}{x} $ 上的两点，过 $ A $ 点作 $ AC \perp x $ 轴，交 $ OB $ 于点 $ D $，垂足为点 $ C $，过 $ B $ 点作 $ BE \perp x $ 轴，垂足为点 $ E $.若 $ \triangle ADO $ 的面积为 1，$ D $ 为 $ OB $ 的中点.
（1）求四边形 $ DCEB $ 的面积；
（2）求 $ k $ 的值.

（1）设点$ B $的坐标为$(2m, 2n)$，则$ OB $中点$ D $的坐标为$(m, n)$，$ E $点坐标为$(2m, 0)$。$ AC \perp x $轴，$ D $在$ AC $上，故$ A $点横坐标为$ m $，设$ A(m, y) $。
$ B(2m, 2n) $在双曲线$ y = \frac{k}{x} $上，得$ 2m \cdot 2n = k \Rightarrow 4mn = k $。
$ A(m, y) $在双曲线上，得$ m \cdot y = k \Rightarrow y = \frac{k}{m} $。
$ \triangle ADO $面积为1，$ AD = y - n $，底$ AD $，高$ m $，则$ \frac{1}{2} \cdot m \cdot (y - n) = 1 $。
将$ y = \frac{k}{m} $，$ mn = \frac{k}{4} $代入，得$ \frac{1}{2} \left( k - \frac{k}{4} \right) = 1 \Rightarrow \frac{3k}{8} = 1 $（此处原推导简化，实际过程得$ k = \frac{8}{3} $）。
四边形$ DCEB $为直角梯形，$ DC = n $，$ EB = 2n $，高$ CE = m $，面积$ = \frac{1}{2}(n + 2n) \cdot m = \frac{3}{2}mn $。
由$ mn = \frac{k}{4} = \frac{2}{3} $，得面积$ = \frac{3}{2} × \frac{2}{3} = 1 $。
（2）由上述推导，$ 4mn = k $且$ mn = \frac{2}{3} $，故$ k = 4 × \frac{2}{3} = \frac{8}{3} $。
（1）1；（2）$\frac{8}{3}$