25. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,直线 $ y = -\frac{1}{2}x + 3 $ 与 $ x $ 轴交于点 $ A $,与 $ y $ 轴交于点 $ B $,抛物线 $ y = \frac{1}{3}x^{2} + bx + c $ 经过坐标原点和点 $ A $,顶点为点 $ M $.
(1)求抛物线的关系式及点 $ M $ 的坐标.
(2)点 $ E $ 是直线 $ AB $ 下方的抛物线上一动点,连接 $ EB $,$ EA $,当 $ \triangle EAB $ 的面积等于 $ \frac{25}{2} $ 时,求 $ E $ 点的坐标.
(3)将直线 $ AB $ 向下平移,得到过点 $ M $ 的直线 $ y = mx + n $,且与 $ x $ 轴负半轴交于点 $ C $,取点 $ D(2,0) $,连接 $ DM $,求证：$ \angle ADM - \angle ACM = 45^{\circ} $.

(1) 抛物线关系式$y=\frac{1}{3}x^2-2x$，$M(3,-3)$；
(2) $E(1,-\frac{5}{3})$或$(\frac{7}{2},-\frac{35}{12})$；
(3) 证明见上。

(1) 对于直线$y=-\frac{1}{2}x+3$，令$y=0$，得$0=-\frac{1}{2}x+3$，解得$x=6$，$\therefore A(6,0)$。
抛物线$y=\frac{1}{3}x^2+bx+c$过原点$(0,0)$，$\therefore c=0$。
将$A(6,0)$代入，得$0=\frac{1}{3}×6^2+6b$，解得$b=-2$。
$\therefore$抛物线关系式为$y=\frac{1}{3}x^2-2x$。
顶点$M$的横坐标$x=-\frac{-2}{2×\frac{1}{3}}=3$，代入抛物线得$y=\frac{1}{3}×3^2-2×3=-3$，$\therefore M(3,-3)$。
(2) 设$E(x,\frac{1}{3}x^2-2x)$，直线$AB$：$y=-\frac{1}{2}x+3$，$B(0,3)$。
$\triangle EAB$面积$S=\frac{1}{2}×|AB|× d$，$AB=3\sqrt{5}$，$d=\frac{|x+2y-6|}{\sqrt{5}}$（$E$在下方，取负）。
由$S=\frac{25}{2}$，得$\frac{1}{2}×3\sqrt{5}×\frac{6-x-2y}{\sqrt{5}}=\frac{25}{2}$，化简得$x+2y=-\frac{7}{3}$。
将$y=\frac{1}{3}x^2-2x$代入，得$2x^2-9x+7=0$，解得$x=1$或$x=\frac{7}{2}$。
当$x=1$时，$y=-\frac{5}{3}$；当$x=\frac{7}{2}$时，$y=-\frac{35}{12}$。
$\therefore E(1,-\frac{5}{3})$或$(\frac{7}{2},-\frac{35}{12})$。
(3) 直线$AB$平移后斜率$m=-\frac{1}{2}$，过$M(3,-3)$，得$-3=-\frac{1}{2}×3+n$，$n=-\frac{3}{2}$，$\therefore$直线$y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$。
令$y=0$，得$x=-3$，$\therefore C(-3,0)$。
$D(2,0)$，$M(3,-3)$。
$\tan\angle ADM=\frac{|-3|}{6-2}=3$，$\tan\angle ACM=\frac{|-3|}{3-(-3)}=\frac{1}{2}$。
$\tan(\angle ADM-\angle ACM)=\frac{3-\frac{1}{2}}{1+3×\frac{1}{2}}=1$，$\therefore\angle ADM-\angle ACM=45°$。