10. 如图,在直角坐标系中,点$A(0,2),B(-1,0)$,将$\triangle ABO$绕点 O 按顺时针旋转得到$\triangle A_{1}B_{1}O$,若$AB\perp OB_{1}$,则点$A_{1}$的坐标为()

A.$(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5})$
B.$(\frac{4\sqrt{5}}{5},\frac{2\sqrt{5}}{5})$
C.$(\frac{2}{3},\frac{4}{3})$
D.$(\frac{4}{5},\frac{8}{5})$

A

已知点$A(0,2)$，$B(-1,0)$，则$\triangle ABO$为直角三角形，$OA=2$，$OB=1$，$\angle AOB=90°$。将$\triangle ABO$绕点$O$顺时针旋转得$\triangle A_1B_1O$，由旋转性质知$OA_1=OA=2$，$OB_1=OB=1$。
直线$AB$的斜率$k_{AB}=\frac{0-2}{-1-0}=2$，因$AB\perp OB_1$，故$OB_1$的斜率$k_{OB_1}=-\frac{1}{2}$，则$OB_1$方程为$y=-\frac{1}{2}x$。
设$B_1(x,y)$，由$OB_1=1$及$y=-\frac{1}{2}x$，联立$\begin{cases}x^2+y^2=1\\y=-\frac{1}{2}x\end{cases}$，解得$x=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$y=\mp\frac{\sqrt{5}}{5}$。由旋转方向知$B_1$在第二象限，即$B_1\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{5}}{5}\right)$，故$\cos\theta=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$\sin\theta=\frac{\sqrt{5}}{5}$（$\theta$为旋转角）。
点$A(0,2)$绕$O$顺时针旋转$\theta$得$A_1$，其坐标为$(2\sin\theta,2\cos\theta)$，代入得$A_1\left(\frac{2\sqrt{5}}{5},\frac{4\sqrt{5}}{5}\right)$。

11. 已知抛物线$y = ax^{2}+bx + c$(a,b,c 是常数),$a + b + c = 0$,有下列四个结论:
①若抛物线经过点$(-3,0)$,则$b = 2a$;
②若$b = c$,则方程$cx^{2}+bx + a = 0$一定有根$x = -2$;
③抛物线与 x 轴一定有两个不同的公共点;
④点$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2})$在抛物线上,若$0 ＜ a ＜ c$,则当$x_{1} ＜ x_{2} ＜ 1$时,$y_{1} ＞ y_{2}$.
其中不正确的个数是.

B

① 已知抛物线经过点 $(-3,0)$，代入 $y = ax^2 + bx + c$ 得：
$9a - 3b + c = 0$，
由 $a + b + c = 0$，两式相减得：
$9a - 3b + c - (a + b + c) = 0 \Rightarrow 8a - 4b = 0 \Rightarrow b = 2a$，
故①正确。
② 由 $a + b + c = 0$ 和 $b = c$，得：
$a + 2b = 0 \Rightarrow a = -2b$，
代入方程 $cx^2 + bx + a = 0$ 得：
$bx^2 + bx - 2b = 0 \Rightarrow b(x^2 + x - 2) = 0 \Rightarrow b(x + 2)(x - 1) = 0$，
因为 $b \neq 0$（否则 $a = b = c = 0$，与题意矛盾），
所以方程有根 $x = -2$，
故②正确。
③ 抛物线 $y = ax^2 + bx + c$ 过点 $(1,0)$，但无法确定抛物线与 $x$ 轴的其他交点情况，
例如，当 $a = 1, b = 0, c = -1$ 时，抛物线为 $y = x^2 - 1$，与 $x$ 轴有两个交点；
但当 $a = -1, b = 0, c = 1$ 时，抛物线为 $y = -x^2 + 1$，与 $x$ 轴也有两个交点，
然而当$a = 1, b = -2, c = 1$时，抛物线为$y=x^2-2x+1=(x-1)^2$，此时抛物线与$x$轴有一个交点，
所以不能确定一定有两个不同的交点，
故③错误。
④ 由 $0 ＜ a ＜ c$ 和 $a + b + c = 0$，得：
$c =-a-b $，
因为$0 ＜ a ＜ -a-b$，
所以$-2a＜b＜ -a$，
对称轴为 $x = -\frac{b}{2a} ＞ 1$，
因为$a＞0$，
所以抛物线的开口向上，
所以在对称轴左侧，$y$ 随 $x$ 的增大而减小，
因为$x_1 ＜ x_2 ＜ 1$，
所以$y_1 ＞ y_2$，
故④正确。
综上，只有③一个不正确。

12. 如图,在平面直角坐标系中,点$N_{1}(1,1)$在直线$l:y = x$上,过点$N_{1}$作$N_{1}M_{1}\perp l$,交 x 轴于点$M_{1}$;过点$M_{1}$作$M_{1}N_{2}\perp x$轴,交直线 l 于点$N_{2}$;过点$N_{2}$作$N_{2}M_{2}\perp l$,交 x 轴于点$M_{2}$;过点$M_{2}$作$M_{2}N_{3}\perp x$轴,交直线 l 于点$N_{3}$;……按此作法进行下去,则点$M_{2024}$的坐标为().

$(2^{2024},0)$

由题意，直线$l:y=x$斜率为1，其垂线斜率为-1。
$N_1(1,1)$，直线$N_1M_1$方程：$y-1=-1(x-1)$即$y=-x+2$，交x轴于$M_1(2,0)$；
$M_1(2,0)$作垂线交$l$于$N_2(2,2)$，直线$N_2M_2$方程：$y-2=-1(x-2)$即$y=-x+4$，交x轴于$M_2(4,0)$；
同理，$M_3(8,0)$，$M_4(16,0)$，...，规律为$M_n(2^n,0)$。
故$M_{2024}(2^{2024},0)$。

13. 若关于 a 代数式$\frac{\sqrt{2a + 6}}{a}$在实数范围内有意义,则实数 a 的取值范围是.

$a \geq -3$且$a \neq 0$

要使代数式$\frac{\sqrt{2a + 6}}{a}$有意义，需满足被开方数非负且分母不为零。即$\begin{cases}2a + 6 \geq 0 \\ a \neq 0\end{cases}$，解$2a + 6 \geq 0$得$a \geq -3$，所以$a$的取值范围是$a \geq -3$且$a \neq 0$。

14. 如图,在直角坐标系中,$\triangle ABC$与$\triangle ODE$是位似图形,则位似中心的坐标为().

(4,2)

连接对应点O与A、D与B、E与C，其交点即为位似中心。
直线OA：O(0,0)，A(2,1)，解析式为$y=\frac{1}{2}x$。
直线DB：D(2,4)，B(3,3)，设解析式为$y=mx+n$，代入得$\begin{cases}4=2m+n\\3=3m+n\end{cases}$，解得$m=-1$，$n=6$，即$y=-x+6$。
联立$\begin{cases}y=\frac{1}{2}x\\y=-x+6\end{cases}$，解得$x=4$，$y=2$。

15. 抖空竹在我国有着悠久的历史,是国家级非物质文化遗产之一.如图,AC,BD 分别与$\odot O$相切于点 C,D,延长 AC,BD 交于点 P.若$\angle P = 120^{\circ}$,$\odot O$的半径为 6 cm,则图中$\widehat{CD}$的长为cm.(结果保留$\pi$)

$2\pi$

连接 $OC$、$OD$，因为$AC$、$BD$分别与$\odot O$相切于点$C$、$D$，所以$OC\perp AC$，$OD\perp BD$。
已知$\angle P = 120^{\circ}$，在四边形$OCPD$中，$\angle OCP = \angle ODP = 90^{\circ}$，根据四边形内角和为$360^{\circ}$，可得$\angle COD = 360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$。
由弧长公式$l=\frac{n\pi r}{180}$（其中$n$为圆心角度数，$r$为半径），已知$n = 60$，$r = 6$，则$\widehat{CD}$的长为$\frac{60\pi×6}{180}=2\pi$。

16. 如图,在综合实践课上,老师将三角形纸片 ABC 折叠,使点 B,C 都与点 A 重合,折痕分别为 DE,FG.已知$\angle ACB = 15^{\circ},AE = EF,DE = \sqrt{3}$,则 BC 的长为.

6

由折叠性质，点B与A重合得BE=AE，∠B=∠BAE；点C与A重合得FC=FA，∠C=∠CAF=15°，故∠AFC=150°，∠AFE=30°。
∵AE=EF，∴△AEF为等腰三角形，∠EAF=∠AFE=30°，∠AEF=120°。
∠AEB=180°-∠AEF=60°，在△ABE中，∠B=∠BAE=(180°-60°)/2=60°，故△ABE为等边三角形，AE=BE=AB。
折痕DE垂直平分AB，在Rt△ADE中，∠DAE=60°，DE=√3，tan60°=DE/AD=√3/AD=√3，得AD=1，AB=2，∴AE=BE=2。
∵AE=EF，∴EF=2。过A作AH⊥BC于H，在Rt△AHE中，∠AEH=60°，AE=2，得EH=1，AH=√3。HF=EF-EH=1，Rt△AHF中，AF=√(AH²+HF²)=2，∴FC=AF=2。
BC=BE+EF+FC=2+2+2=6。