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21. (本题 10 分)
已知点$P$是正方形内一点,将$\triangle ABP旋转后能与\triangle CBE$重合。
(1)$\triangle ABP$旋转的中心是哪个点？旋转了多少度？
(2)若$BP = 2$,求$PE$的长。
已知点$P$是正方形内一点,将$\triangle ABP旋转后能与\triangle CBE$重合。
(1)$\triangle ABP$旋转的中心是哪个点？旋转了多少度？
(2)若$BP = 2$,求$PE$的长。
答案
(1)
由于$\triangle ABP$旋转后能与$\triangle CBE$重合，且四边形$ABCD$为正方形，
所以，旋转中心为点$B$，旋转角度为$90°$（顺时针）。
(2)
由于$\triangle ABP$绕点$B$顺时针旋转$90°$后与$\triangle CBE$重合，
所以，$BP = BE = 2$，且$\angle PBE = 90°$。
根据等腰直角三角形的性质，有：
$PE = \sqrt{BP^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
由于$\triangle ABP$旋转后能与$\triangle CBE$重合，且四边形$ABCD$为正方形，
所以，旋转中心为点$B$，旋转角度为$90°$（顺时针）。
(2)
由于$\triangle ABP$绕点$B$顺时针旋转$90°$后与$\triangle CBE$重合，
所以，$BP = BE = 2$，且$\angle PBE = 90°$。
根据等腰直角三角形的性质，有：
$PE = \sqrt{BP^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$。
