15. 如图,这是一个矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌,测得$AM= 4\ m$,$AB= 8\ m$,$\angle MAD= 45^{\circ}$,$\angle MBC= 30^{\circ}$,则警示牌的高CD约为m.(结果保留小数点后一位,参考数据：$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sqrt{3}\approx1.73$)

$2.9$

由题意得$\angle MAD = 45°$，$\angle MBC = 30°$。
在$Rt \bigtriangleup AMD$中，$\angle AMD = 90°$，$\angle MAD = 45°$，$AM = 4$，
所以，$AD = AM× \tan 45°= 4 × 1 = 4$（$m$）。
在$Rt \bigtriangleup BMC$中，$\angle BMC = 90°$，$\angle MBC = 30°$，$MB = AM + AB = 4 + 8 = 12$（$m$），
所以，$CM = MB× \tan 30° = 12 × \frac{\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$（$m$）。
又因为$DM = AM = 4$（$m$），
所以，$CD = CM - DM = 4\sqrt{3} - 4 \approx 4 × 1.73 - 4 = 2.9$（$m$）。

16. 如图,A,B,C,D,E是$\odot O$上的五点,$AB= CD$.若$\odot O$的半径为6,$\angle CED= 30^{\circ}$,则图中阴影部分的面积为.

6π

∵∠CED是圆周角，且∠CED=30°，∴∠CED所对的弧CD的度数为2∠CED=60°，则弧CD所对的圆心角∠COD=60°。
∵AB=CD，在同圆中相等的弦所对的劣弧相等，∴弧AB=弧CD=60°，故弧AB所对的圆心角∠AOB=60°。
阴影部分为扇形OAB，半径r=6，圆心角n=60°，其面积为$\frac{nπr²}{360}=\frac{60π×6²}{360}=6π$。

17. 如图,在平面直角坐标系中,函数$y= \frac{6}{x}(x＞0)的图象经过A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})$两点.若$\triangle ABO的面积为\frac{9}{2}$,则$\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{y_{1}}{y_{2}}$的值为______.zyjl.cn/pic18/2025-09-11/81dee6f583a38cdc8f17a203ab84a554.jpg?x-oss-process=image/crop,x_0,y_0,w_1402,h_2795/crop,x_616,y_1792,w_258,h_283">

$\frac{5}{2}$

∵A$(x_1,y_1)$、B$(x_2,y_2)$在$y=\frac{6}{x}(x＞0)$上，∴$x_1y_1=6$，$x_2y_2=6$。
$\triangle ABO$面积为$\frac{9}{2}$，由坐标面积公式得$\frac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|=\frac{9}{2}$，即$|x_1y_2 - x_2y_1|=9$。
∵A、B在第一象限且$y=\frac{6}{x}$为减函数，设$x_1＜x_2$，则$y_1＞y_2$，故$x_2y_1 - x_1y_2=9$。
将$y_1=\frac{6}{x_1}$，$y_2=\frac{6}{x_2}$代入得：$x_2\cdot\frac{6}{x_1}-x_1\cdot\frac{6}{x_2}=9$，化简为$6(\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2})=9$。
设$t=\frac{x_1}{x_2}$，则$\frac{x_2}{x_1}=\frac{1}{t}$，方程变为$6(\frac{1}{t}-t)=9$，即$2(\frac{1}{t}-t)=3$。
整理得$2t^2 + 3t - 2=0$，解得$t=\frac{1}{2}$（$t＞0$）。
∴$\frac{x_1}{x_2}=t=\frac{1}{2}$，$\frac{y_1}{y_2}=\frac{\frac{6}{x_1}}{\frac{6}{x_2}}=\frac{x_2}{x_1}=2$。
故$\frac{x_1}{x_2}+\frac{y_1}{y_2}=\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}$。

18. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是平面内一点,$AE= AB$,将EB绕点E顺时针旋转$90^{\circ}$得到线段EF,连接AF.当AF的长最小时,$\tan\angle CDE$的值为______.

√2 - 1

以A为原点，AB、AD所在直线为x轴、y轴建立坐标系，A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2)。E在以A为圆心，2为半径的圆上，设E(x,y)，则x²+y²=4。向量EB=(2-x,-y)，顺时针旋转90°得向量EF=(-y,x-2)，故F(x-y,x+y-2)。AF²=(x-y)²+(x+y-2)²=4(3-x-y)，AF最小需x+y最大。x+y=2√2时最大，此时E(√2,√2)。∠CDE中，tan∠CDE=(2-y)/x=(2-√2)/√2=√2-1。