登录
14. 一只盒子中有红球m个,白球 8 个,黑球n个,这些球除颜色外其他都相同.从中任取一个球,取得白球的概率与不是白球的概率相同,那么m与n的关系是
$m + n = 8$
.答案
$m + n = 8$
解析
根据题意，取得白球的概率为 $\frac{8}{m + 8 + n}$，
取得不是白球的概率为 $\frac{m + n}{m + 8 + n}$。
由于取得白球的概率与不是白球的概率相同，所以有：
$\frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n}$，
由于分母相同且不为零（因为总球数 $m + 8 + n$ 必然大于零），可以比较分子：
$8 = m + n$。
取得不是白球的概率为 $\frac{m + n}{m + 8 + n}$。
由于取得白球的概率与不是白球的概率相同，所以有：
$\frac{8}{m + 8 + n} = \frac{m + n}{m + 8 + n}$，
由于分母相同且不为零（因为总球数 $m + 8 + n$ 必然大于零），可以比较分子：
$8 = m + n$。
15. 有四张背面完全一样、正面分别写有汉字"清""风""朗""月"的卡片,将它们背面朝上并洗匀,从中随机抽取一张,记下卡片正面上的汉字后放回,洗匀后再从中随机抽取一张,则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是
1/4
.答案
1/4
解析
列表如下：
|第一次|清|风|朗|月|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|清|(清,清)|(清,风)|(清,朗)|(清,月)|
|风|(风,清)|(风,风)|(风,朗)|(风,月)|
|朗|(朗,清)|(朗,风)|(朗,朗)|(朗,月)|
|月|(月,清)|(月,风)|(月,朗)|(月,月)|
共有16种等可能的结果，其中两张卡片上汉字相同的结果有4种，所以概率为4/16=1/4。
|第一次|清|风|朗|月|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|清|(清,清)|(清,风)|(清,朗)|(清,月)|
|风|(风,清)|(风,风)|(风,朗)|(风,月)|
|朗|(朗,清)|(朗,风)|(朗,朗)|(朗,月)|
|月|(月,清)|(月,风)|(月,朗)|(月,月)|
共有16种等可能的结果，其中两张卡片上汉字相同的结果有4种，所以概率为4/16=1/4。
16. 如图,在平行四边形纸片上做随机扎针试验,针头扎在阴影区域内的概率是
1/2
.答案
1/2
解析
设平行四边形面积为S，其对角线互相平分，分成4个面积相等的三角形，每个三角形面积为S/4。阴影部分由2个小三角形组成，面积为2×(S/4)=S/2，概率为(S/2)/S=1/2。
17. 一个口袋中有 30 个大小、质感相同的球,其中红球有n个,黑球有 3n个,其余为绿球.甲从口袋中任意摸出1个球,若为红球,则甲得 1 分;甲将摸出的球放回口袋中,乙再从口袋中摸出1个球,若为绿球,则乙得 1 分.谁先得 10 分谁获胜.要使游戏对甲、乙双方公平,则n的值是
6
.答案
6
解析
由题意，红球有 $n$ 个，黑球有 $3n$ 个，因此绿球数量为 $30 - n - 3n = 30 - 4n$。
甲摸到红球得1分的概率为 $\frac{n}{30}$，乙摸到绿球得1分的概率为 $\frac{30 - 4n}{30}$。
为使游戏对甲、乙双方公平，需要使得甲得分的概率和乙得分的概率相等，即：
$\frac{n}{30} = \frac{30 - 4n}{30}$，
解这个方程，得到：
$n = 30 - 4n$，
$5n = 30$，
$n = 6$。
甲摸到红球得1分的概率为 $\frac{n}{30}$，乙摸到绿球得1分的概率为 $\frac{30 - 4n}{30}$。
为使游戏对甲、乙双方公平，需要使得甲得分的概率和乙得分的概率相等，即：
$\frac{n}{30} = \frac{30 - 4n}{30}$，
解这个方程，得到：
$n = 30 - 4n$，
$5n = 30$，
$n = 6$。
18. 如图,电路连接完好,且各元件工作正常,随机闭合开关$S_{1},S_{2},$$S_{3}$中的两个,能让两个小灯泡同时发光的概率是
$\frac{1}{3}$
.答案
$\frac{1}{3}$
解析
本题可先求出随机闭合开关$S_1$，$S_2$，$S_3$中的两个的所有可能情况，再找出能让两个小灯泡同时发光的情况，最后根据古典概型概率公式计算概率。
步骤一：计算随机闭合开关$S_1$，$S_2$，$S_3$中的两个的所有可能情况
从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$3$个开关中随机闭合$2$个，即$n = 3$，$m = 2$，则组合数$C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3×2×1}{2×1×1}= 3$种，这$3$种情况分别为$(S_1,S_2)$，$(S_1,S_3)$，$(S_2,S_3)$。
步骤二：找出能让两个小灯泡同时发光的情况
根据电路图可知，当闭合开关$S_1$和$S_3$时，电流从电源正极流出，经$S_1$、上面灯泡、下面灯泡、$S_3$回到电源负极，两个小灯泡同时发光；当闭合$S_1$和$S_2$时，下面灯泡被短路，只有上面灯泡发光；当闭合$S_2$和$S_3$时，上面灯泡被短路，只有下面灯泡发光。
所以能让两个小灯泡同时发光的情况只有$1$种，即闭合$S_1$和$S_3$。
步骤三：根据古典概型概率公式计算概率
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
设“能让两个小灯泡同时发光”为事件$A$，由上述计算可知$n = 3$，$m = 1$，则$P(A)=\frac{1}{3}$。
步骤一：计算随机闭合开关$S_1$，$S_2$，$S_3$中的两个的所有可能情况
从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数记为$C_{n}^m$，其计算公式为$C_{n}^m=\frac{n!}{m!(n - m)!}$。
从$3$个开关中随机闭合$2$个，即$n = 3$，$m = 2$，则组合数$C_{3}^2=\frac{3!}{2!(3 - 2)!}=\frac{3×2×1}{2×1×1}= 3$种，这$3$种情况分别为$(S_1,S_2)$，$(S_1,S_3)$，$(S_2,S_3)$。
步骤二：找出能让两个小灯泡同时发光的情况
根据电路图可知，当闭合开关$S_1$和$S_3$时，电流从电源正极流出，经$S_1$、上面灯泡、下面灯泡、$S_3$回到电源负极，两个小灯泡同时发光；当闭合$S_1$和$S_2$时，下面灯泡被短路，只有上面灯泡发光；当闭合$S_2$和$S_3$时，上面灯泡被短路，只有下面灯泡发光。
所以能让两个小灯泡同时发光的情况只有$1$种，即闭合$S_1$和$S_3$。
步骤三：根据古典概型概率公式计算概率
古典概型概率公式为$P(A)=\frac{m}{n}$，其中$P(A)$表示事件$A$发生的概率，$m$表示事件$A$包含的基本事件个数，$n$表示基本事件的总数。
设“能让两个小灯泡同时发光”为事件$A$，由上述计算可知$n = 3$，$m = 1$，则$P(A)=\frac{1}{3}$。
19. (本小题 6 分)某地铁站有标识为 1,2,3,4 的四个出入口.甲、乙两位志愿者随机选择该站一个出入口开展志愿服务活动.
(1) 甲在 2 号出入口开展志愿服务活动的概率为
(2) 求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.
(1) 甲在 2 号出入口开展志愿服务活动的概率为
$\frac{1}{4}$
;(2) 求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率.
$\frac{1}{4}$
答案
(1) $\frac{1}{4}$
(2) $\frac{1}{4}$
解析
(1)
甲选择四个出入口中的任何一个的概率相等，故甲在 2 号出入口开展志愿服务活动的概率为：
$\frac{1}{4}$
(2)
甲、乙两位志愿者各自有 4 种选择，总的可能情况数为：
$4 × 4 = 16$
甲、乙两人在同一出入口的情况有 4 种（1 号、2 号、3 号、4 号）。
故甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为：
$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
最终
甲选择四个出入口中的任何一个的概率相等，故甲在 2 号出入口开展志愿服务活动的概率为：
$\frac{1}{4}$
(2)
甲、乙两位志愿者各自有 4 种选择，总的可能情况数为：
$4 × 4 = 16$
甲、乙两人在同一出入口的情况有 4 种（1 号、2 号、3 号、4 号）。
故甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率为：
$\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$
最终
