6. 如图,平行于 x 轴的直线与函数$y= \frac{k_1}{x}$ ($k_1＞0,x＞0$),$y = \frac{k_2}{x}$ ($k_2＞0,x＞0$)的图象分别相交于 A,B 两点,点 A 在点 B 的右侧,C 为 x 轴上的一个动点.若$\triangle ABC$的面积为 4,则$k_1 - k_2$的值为 ()

A.8
B.-8
C.4
D.-4

A

设平行于x轴的直线为y=m(m＞0)，则点A坐标为(k₁/m, m)，点B坐标为(k₂/m, m)。AB长度为(k₁/m - k₂/m)=(k₁ - k₂)/m。△ABC以AB为底，高为点C到AB的距离，即m（AB在y=m上，C在x轴y=0上）。面积S=1/2×[(k₁ - k₂)/m]×m=(k₁ - k₂)/2=4，故k₁ - k₂=8。

7. 已知正比例函数$y_1的图象与反比例函数y_2的图象相交于点A(2,4)$,下列说法正确的是 ()
A.反比例函数$y_2的解析式是y_2= -\frac{8}{x}$
B.两个函数图象的另一交点坐标为$(2,-4)$
C.当$x ＜ -2或0 ＜ x ＜ 2$时,$y_1 ＜ y_2$
D.正比例函数$y_1与反比例函数y_2$都随 x 的增大而增大

C

设正比例函数$y_1=k_1x$，反比例函数$y_2=\frac{k_2}{x}$。
∵点$A(2,4)$是交点，
∴$4=2k_1$，解得$k_1=2$，则$y_1=2x$；
$4=\frac{k_2}{2}$，解得$k_2=8$，则$y_2=\frac{8}{x}$，故A错误。
两函数交点关于原点对称，另一交点为$(-2,-4)$，故B错误。
当$0＜x＜2$时，取$x=1$，$y_1=2$，$y_2=8$，$y_1＜y_2$；当$x＜-2$时，取$x=-3$，$y_1=-6$，$y_2=-\frac{8}{3}$，$y_1＜y_2$，故C正确。
$y_1=2x$随$x$增大而增大，$y_2=\frac{8}{x}$在各象限内随$x$增大而减小，故D错误。

8. 如图,矩形 ABCD 的顶点 A 在第一象限,$AB// x$轴,$AD// y$轴,且对角线的交点与原点 O 重合.在边 AB 从小于 AD 到大于 AD 的变化过程中,若矩形 ABCD 的周长始终保持不变,且动点 A 在反比例函数$y= \frac{k}{x}(k\neq0)$的图象上,则 k 的变化情况是()

A.一直增大
B.一直减小
C.先增大后减小
D.先减小后增大

C

设A(a,b)(a＞0,b＞0)，由矩形对角线交点为原点O，得AB=2a，AD=2b，周长=4(a+b)=定值，故a+b=m(m为常数)。A在y=k/x上，∴k=ab=a(m-a)=-a²+ma，此二次函数开口向下，对称轴a=m/2。当AB＜AD即a＜b(a＜m/2)时，k随a增大而增大；当AB＞AD即a＞b(a＞m/2)时，k随a增大而减小。故k先增大后减小。

9. 如图,矩形 ABCD 的对角线 BD 过原点 O,各边分别平行于坐标轴,点 C 在反比例函数$y= \frac{3k + 1}{x}$的图象上.若点 A 的坐标是$(-2,-2)$,则 k 的值是 ()

A.0
B.1
C.2
D.4

B

设点B坐标为(a,-2)，点D坐标为(-2,b)，则点C坐标为(a,b)。
∵矩形对角线BD过原点O，且矩形对角线互相平分，∴O为BD中点。
由中点坐标公式：$\frac{a-2}{2}=0$，$\frac{-2+b}{2}=0$，解得$a=2$，$b=2$，∴点C(2,2)。
∵点C在$y=\frac{3k+1}{x}$上，∴$2=\frac{3k+1}{2}$，解得$k=1$。

10. 如图,A,B 分别为$\odot F$与 x 轴、y 轴的切点,$AB = 2\sqrt{2}$,C 为优弧 AB 的中点,反比例函数$y= \frac{2k}{x}(x＞0)$的图象经过点 C,则 k 的值为 ()

A.$3 + 2\sqrt{2}$
B.8
C.16
D.32

A

设$\odot F$与$x$轴、$y$轴相切于$A$、$B$，则$FA\perp x$轴，$FB\perp y$轴。
设$F(a,a)$，半径为$r$，则$A(a,0)$，$B(0,a)$，$OA = OB=a$。
在$Rt\triangle AOB$中，根据勾股定理$AB^{2}=OA^{2}+OB^{2}$，已知$AB = 2\sqrt{2}$，则$(2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+a^{2}$，即$8 = 2a^{2}$，解得$a = 2$（$a\gt0$）。
所以$F(2,2)$，$A(2,0)$，$B(0,2)$。
设$O$为坐标原点，连接$OF$，$CF$，因为$C$为优弧$AB$的中点，所以$CF\perp AB$，$\angle BOA = 90^{\circ}$，$\angle OBF=\angle OAF = 90^{\circ}$，$OB = OA$，则$\triangle AOB$是等腰直角三角形，$\angle ABO = 45^{\circ}$。
过$C$作$CD\perp x$轴于$D$，$CE\perp y$轴于$E$，易知$CD$与$x$轴，$CE$与$y$轴构成的四边形是正方形。
因为$F(2,2)$，$C$在优弧$AB$中点，$AB$所在直线方程为$y=-x + 2$，$CF$垂直$AB$，$CF$的斜率为$1$，$CF$过$F(2,2)$，$CF$与$AB$交点为优弧$AB$中点$C$。
$C$点横坐标$x_{C}=2 + \sqrt{2}$，纵坐标$y_{C}=2+\sqrt{2}$。
因为反比例函数$y=\frac{2k}{x}(x\gt0)$的图象经过点$C$，把$C(2 + \sqrt{2},2+\sqrt{2})$代入$y=\frac{2k}{x}$，得$2+\sqrt{2}=\frac{2k}{2+\sqrt{2}}$。
$2k=(2 + \sqrt{2})^{2}=4 + 4\sqrt{2}+2=6 + 4\sqrt{2}$，$k=3 + 2\sqrt{2}$。